UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
TESIS
IMPLEMENTACIÓN Y COMPARACIÓN DE TRES
ALGORITMOS DE FORMACIÓN DE IMÁGENES SAR
EMPLEANDO UN RADAR DE APERTURA SINTÉTICA DE
ESTACIÓN TERRENA (GB-SAR) PARA UNA APLICACIÓN DE
MONITOREO DE DESLIZAMIENTOS
PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE:
INGENIERO ELECTRÓNICO
ELABORADO POR:
LUIS DE LA CRUZ PAINADO
ASESOR:
ING. ANGEL LUIS ALBURQUEQUE GUERRERO
LIMA - PERÚ
2021
IMPLEMENTACIÓN Y COMPARACIÓN DE TRES
ALGORITMOS DE FORMACIÓN DE IMÁGENES SAR
EMPLEANDO UN RADAR DE APERTURA SINTÉTICA DE
ESTACIÓN TERRENA (GB-SAR) PARA UNA APLICACIÓN DE
MONITOREO DE DESLIZAMIENTOS
DEDICATORIA
A mis padres Pepe y Carmen, por el cariño in-
menso, por estar presentes conmigo en los buenos
y difíciles momentos de mi vida, y por apoyarme
en el logro de cada uno de mis metas, en especial
este gran logro profesional. Les estaré agradeci-
dos toda una vida.
A mis hermanas Helen, Vianney y Noemí, por
ser mis guías y ejemplos a seguir, por la motiva-
ción y apoyo constante en cada meta trazada.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al Instituto Geofísico del Perú (IGP), sede Radio Observatorio de Jicamarca
(ROJ) por todas las facilidades brindadas, al Dr. Marco Milla por el asesoramiento durante
el desarrollo de este trabajo, al personal del área CIELO por los consejos y orientaciones, y
al Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (FONDECYT) por la financiación
al proyecto bajo el convenio de adjudicación No. 099-2014-FONDECYT-DE.
RESUMEN
En el presente trabajo se describe la implementación y comparación de tres algoritmos de
formación de imágenes para radares de Apertura Sintética de Estación Terrena (GB-SAR),
con el objetivo principal de determinar el algoritmo más adecuado para aplicarlo en la etapa
inicial de un Sistema de monitoreo de deslizamientos con radares SAR.
Los algoritmos que se implementaron fueron los siguientes: Frequency Domain Back
Projection (FDBP), Range Migration Algorithm (RMA) y Discrete Linear Inverse Problem
(DLIP). Cada uno de estos algoritmos se probaron con datos simulados, mientras que solo
los dos primeros se probaron con datos reales. Las pruebas con datos simulados consistieron
en la obtención de las imágenes SAR de blancos teóricos, estos blancos fueron definidos por
el usuario y los datos fueron generados por un programa de computador. Por otro lado, las
pruebas con datos reales consistieron en la obtención de las imágenes SAR de un blanco real.
El blanco real usado fue un cerro propenso a deslizamiento, y los datos fueron adquiridos
con el radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’, perteneciente al Instituto Geofísico del Perú (IGP).
En el análisis comparativo se consideraron los siguientes tres parámetros de comparación:
calidad de reconstrucción de la imagen, calidad de enfoque y coste computacional. Además
se analizó cómo afectan los resultados de cada algoritmo en la etapa final del Sistema de
monitoreo de deslizamientos con radares SAR, que es la generación de los mapas y gráficos
de deslizamientos del blanco real.
De los resultados de comparación usando tanto datos obtenidos de la simulación como
datos reales, se concluyó que el algoritmo FDBP es el más adecuado para una aplicación de
monitoreo de deslizamientos.
ABSTRACT
In this work, three imaging algorithms using Ground-Based Synthetic Aperture Radar
(GB-SAR) were implemented and then compared, in order to select the most suitable one,
and to apply it to the first stage of a SAR Landslide Monitoring System application.
The Imaging Algorithms are: “Frequency Domain Back Projection” (FDBP), “Range Mi-
gration Algorithm” (RMA), and “Discrete Linear Inverse Problem” (DLIP). These algo-
rithms were tested with simulated data, but only the former two were tested with real data.
The simulated data was obtained by the means of a program that generated a matrix of va-
lues, accordingly to a user defined scenario. On the other hand, the real data measurements
were carried out using the ‘IGP-ROJ’ GB-SAR radar (developed by Instituto Geofísico del
Perú - IGP), which was focused on a part of a mountain, where a landslide has occurred.
These three imaging algorithms were compared in terms of image reconstruction quality,
focusing quality and computational burden. Besides, an analysis was made to figure out the
effect of the algorithms on the generation of the landslides graphs and maps, which are the
results of the last stage of the landslide monitoring system.
Results with both, simulated and real data, showed that the FDBP Algorithm is most
appropriate for the mentioned application.
ÍNDICE
PRÓLOGO 1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN 3
1.1 Panorama de los deslizamientos en el Perú . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Antecedentes del monitoreo de deslizamientos con radares SAR . . . . . . 4
1.3 Problemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO 8
2.1 Fundamentos de radares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Ecuación de radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Formas de onda de las señales de transmisión y recepción . . . . . 10
2.2 Fundamentos de radares GB-SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Conceptos básicos de formación de imágenes . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Conceptos de PDS usados en formación de imágenes SAR . . . . . . . . . 16
2.3.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Decimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Algoritmos de formación de imágenes SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 Revisión del algoritmo FDBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Revisión del algoritmo RMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Revisión del algoritmo DLIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4 Criterios de comparación de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . 42
viii
2.5 Lenguajes de programación para implementación de algoritmos . . . . . . 46
CAPÍTULO III
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS 48
3.1 Radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Descripción del hardware y software . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.3 Adquisición de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Criterios de selección de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Simulación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
CAPÍTULO IV
IMPLEMENTACIÓN DE ALGORITMOS DE FORMACIÓN DE IMÁGENES 58
4.1 Implementación del algoritmo FDBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Mejoras a la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4 Resumen de los pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Implementación del algoritmo RMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 Mejoras a la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.4 Resumen de los pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Implementación del algoritmo DLIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1 Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.4 Limitaciones de implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.5 Resumen de los pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
CAPÍTULO V
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS 96
5.1 Análisis de los resultados simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1 Algoritmo FDBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.2 Algoritmo RMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 Algoritmo DLIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ix
5.2 Comparación de algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.1 Calidad de reconstrucción de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.2 Calidad de enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.3 Coste computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Análisis de los resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.1 Análisis de las imágenes SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.2 Análisis de los mapas de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
CONCLUSIONES 128
RECOMENDACIONES 130
BIBLIOGRAFÍA 131
ANEXOS 134
A Pseudocódigos para la implementación de los algoritmos FDBP, RMA y DLIP . 135
B Demostración del paso compresión en rango del algoritmo FDBP . . . . . . . . 141
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1: Etapas principales de la técnica GB-DInSAR: (a) diagrama de bloques,
(b) esquema gráfico. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 2.1: Geometría usada para la obtención de la ecuación del radar. (Adaptado
de [8]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 2.2: Señal SFCW en el plano Tiempo-Frecuencia. (Adaptado de [8]) . . . 10
Figura 2.3: Modo Stripmap del radar GB-SAR.(Adaptado de [8]) . . . . . . . . 11
Figura 2.4: Geometría usada para la formación de imágenes SAR. (Fuente propia) 12
Figura 2.5: Resolución en rango y azimut del radar GB-SAR. (Adaptado de [14]) 13
Figura 2.6: Representación gráfica del perfil de rango y azimut para un blanco pun-
tual. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2.7: Perfil de Rango (abajo), después de una IDFT a una fila del histórico de
fase (arriba) presente en el dominio frecuencial. (Fuente propia) . . . 19
Figura 2.8: Ejemplo de la periodicidad de la DFT tanto en el dominio del espacio
(imagen superior) como de la frecuencia (imagen inferior). (Fuente pro-
pia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 2.9: Ejemplo de la propiedad de desplazamiento circular de la DFT. En este
caso no se presenta desplazamiento. (a): Espectro, (b) Perfil de Rango
en magnitud, (c) Perfil de Rango en fase. (Fuente propia) . . . . . . 23
Figura 2.10: Ejemplo de la propiedad de desplazamiento circular de la DFT. En este
caso sí se presenta desplazamiento con m = 3. (a) Espectro, (b) perfil de
Rango en magnitud, (c) perfil de Rango en fase. (Fuente propia) . . . 24
Figura 2.11: Ejemplo de zero padding. (a) Espectro con relleno de ceros, (b) Perfil
de rango mejor definido. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 2.12: Perfil de rango del espectro con un número de muestras L, (a) sin zero-
padding, (b) con zero-padding. Perfil de rango del espectro con un nú-
mero de datos L′ > L, (c) sin zero-padding, (d) con zero-padding. (Fuen-
te propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
xi
Figura 2.13: Interpolación constante por partes, aplicado a un perfil de rango, en sus
3 variantes: (a)Previous, (b)Next, (c)Nearest. (Fuente propia) . . . . 27
Figura 2.14: (a)Interpolación lineal e (b) interpolación polinomial cuadrática, aplica-
do a un perfil de rango. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 2.15: Decimación del perfil de rango. (a) Espectro sin decimar, (b) Perfil de
rango sin decimar, (c) Espectro decimado, (d) Perfil de rango decimado.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 2.16: Lóbulos laterales presentes en un perfil de rango. (Fuente propia) . . 31
Figura 2.17: Funciones de enventanado junto a sus espectros. (a)Ventana de Hanning
y (b)Ventana de Hamming. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 2.18: Perfil de rango empleando: (a) Ventana Hanning, (b) ventana Hamming.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 2.19: Esquema gráfico de la etapa de etapa de interpolación del algoritmo
FDBP. ( Extraido de [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 2.20: Reconstrucción de un blanco puntual simulado usando el algoritmo RMA.
(Extraído de [21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 2.21: Reconstrucción de 3 blancos puntuales simulados usando el algoritmo
RMA. (Extraído de [21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 2.22: Reconstrucción de un blanco real usando el algoritmo RMA. Izquierda:
blanco, Derecha: imagen SAR reconstruida. (Extraído de [20]) . . . 39
Figura 2.23: Geometría asumida para explicar el procedimiento del algoritmo SAR
migration. (Extraído de [22]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 2.24: Parámetros de un perfil de rango/azimut para el caso de un blanco pun-
tual simulado: resolución ∆r, PSLR e ISLR. (Adaptado de [27]) . . . 43
Figura 2.25: Procedimiento para obtener las gráficas de ‘Desplazamiento vs Tiempo’,
cada gráfica se obtiene respecto a una cota en específico (P1). (Fuente
propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 3.1: Diagrama de flujo del sistema escogido de formación de imágenes con
radares SAR. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 3.2: Elementos mecánicos y electrónicos del radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’: 1)
antenas de bocina, 2) analizador vectorial de redes (VNA) y 3) sistema
de posicionamiento lineal. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 3.3: Representación gráfica del histórico de fase. (Fuente propia). . . . . 52
xii
Figura 3.4: Contenido de un archivo HDF5 descargado del radar GB-SAR, en el
cual se puede observar tanto el histórico de fase como los parámetros
del experimento. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 3.5: Ángulo de visión máximo de la imagen SAR ‘θmax’. La imagen formada
en la zona gris estará libre del efecto de solapamiento. (Fuente propia) 54
Figura 3.6: Geometría detallada usada para la formación de imágenes SAR, mos-
trando la ubicación de la apertura sintética y la escena de la imagen.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 3.7: Histórico de fase simulado en magnitud y fase para el ejemplo de los
tres blancos puntuales. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 4.1: (a) Blanco usado en las pruebas de los algoritmos de formación de imá-
genes, (b) histórico de fase simulado respectivo. (Fuente propia) . . 59
Figura 4.2: Pasos propuestos del algoritmo FDBP. (Fuente propia) . . . . . . . . 60
Figura 4.3: Etapa de compresión en rango del algoritmo FDBP para el caso de los
3 blancos puntuales. Se extrae un perfil de rango de la matriz resultan-
te correspondiente a una posición intermedia de la apertura sintética.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 4.4: Representación del perfil de Rango en el plano de la escena de la ima-
gen. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 4.5: Proceso de interpolación en el algoritmo FDBP. (Fuente propia) . . . 62
Figura 4.6: Etapa de interpolación del algoritmo FDBP para el caso de 3 blancos
puntuales. Se muestran las imágenes SAR en magnitud, correspondien-
tes a las siguientes posiciones en el riel: (a)inicial, (b) intermedia y (c)
final. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 4.7: Etapa de suma coherente para el caso de los 3 blancos puntuales. En la
parte inferior se muestra la imagen SAR resultante. . . . . . . . . . 64
Figura 4.8: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales, obtenida con el
algoritmo FDBP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 4.9: Imagen SAR ampliada en magnitud del ejemplo de los 3 blancos re-
construidos usando el algoritmo FDBP. (Fuente propia) . . . . . . . 65
Figura 4.10: Imagen SAR de un blanco puntual en (0,5)m, obtenida empleando el
algoritmo FDBP y usando 4 interpoladores: (a) constante, (b) lineal, (c)
cuadrático y (d) cúbico. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . 66
xiii
Figura 4.11: Reconstrucción de un blanco puntual aplicando el algoritmo FDBP, y
usando 2 funciones de enventanado: (a) blanco teórico, (b) sin ventana,
(c) con una ventana Hanning, (d) con una ventana Hamming. (Fuente
propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 4.12: Comparación de perfiles de rango empleando las ventanas de Hanning
y Hamming, para el caso de un blanco puntual reconstruido con el algo-
ritmo FDBP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 4.13: Etapas del algoritmo RMA. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 4.14: Etapa de compresión en rango del algoritmo RMA, para el caso de 2
grupos de blancos puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 4.15: Perfil de rango para 3 blancos puntuales obtenidas en la etapa de com-
presión en rango del algoritmo RMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 4.16: Proceso de zero-padding en el paso de 1D-DFT del algoritmo RMA.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 4.17: Histórico de fase desplazado en Xc = Ls/2 hacia la derecha, y el zero-
padding respectivo. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 4.18: Etapa de 1D-DFT (azimut) del algoritmo RMA, aplicado al ejemplo de
los 3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en mag-
nitud y fase. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 4.19: Distancia del centro de la escena de la imagen hacia el eje de Azimut.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 4.20: Etapa de filtro adaptado del algoritmo RMA, aplicado al ejemplo de los
3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en magnitud
y fase. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 4.21: Desplazamiento de la escena de la imagen en el eje del Rango por un
valor Rs, y definición de un nuevo plano x′− y′. (Basado en [17]) . . 76
Figura 4.22: Efecto de corrección de curvatura realizado por la etapa de filtro adap-
tado del algoritmo RMA. (Basado en [17]) . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 4.23: Corrección de curvatura para el ejemplo de los 3 blancos puntuales dada
por la etapa de filtro adaptado del algoritmo RMA. (a) Antes de aplicar
el filtro adaptado, (b) Después de aplicar el filtro adaptado. (Fuente pro-
pia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xiv
Figura 4.24: Corrección de las curvaturas residuales realizada por la etapa de Inter-
polación STOLT del algoritmo RMA. (Basado en [17]) . . . . . . . 78
Figura 4.25: Cambio de coordenadas realizado en la etapa de Interpolación STOLT
del algoritmo RMA. (Basado en [17]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 4.26: Proceso de interpolación 1D a lo largo del eje ky realizado en la etapa
de Interpolación STOLT del algoritmo RMA. (Basado en [17]) . . . 79
Figura 4.27: Etapa de Interpolación STOLT del algoritmo RMA, aplicado al ejem-
plo de los 3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en
magnitud y fase. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 4.28: Corrección de la curvatura para el ejemplo de los 3 blancos puntuales
después de efectuar la Interpolación STOLT. (Fuente propia) . . . . 81
Figura 4.29: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales obtenida con el
algoritmo RMA. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 4.30: Imagen SAR ampliada en magnitud del ejemplo de los 3 blancos re-
construidos usando el algoritmo RMA. (Fuente propia) . . . . . . . 83
Figura 4.31: Efecto de la función de enventanado en la reconstrucción de un blanco
puntual empleando el algoritmo RMA: (a)Blanco reconstruido sin ven-
tana, (b)Blanco reconstruido con una ventana Hamming. (Fuente propia) 83
Figura 4.32: Ejemplo de decimación en el dominio de la frecuencia con Dx = 4 y
Dy = 2. (a) Espectro de la señal original, (b) espectro decimado. (Fuente
propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 4.33: Imagen SAR en magnitud (lado izquierdo) junto a su espectro (lado
derecho) de un blanco puntual aplicando el algoritmo RMA, para los
siguientes casos: (a,b) sin decimación; (c,d) decimación (Dx,Dy)=(2,2)
y (e,f) decimación (Dx,Dy)=(5,5). (Fuente propia) . . . . . . . . . . 86
Figura 4.34: Recorte de espectro realizado después de la etapa de 1D-DFT del algo-
ritmo RMA, para el ejemplo de los 3 blancos puntuales. (a) Espectro sin
recortar, (b) máscara de recorte de espectro. (Fuente propia) . . . . . 88
Figura 4.35: Pasos del algoritmo DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 4.36: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales obtenida emplean-
do el algoritmo DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Figura 5.1: Blanco usado para el análisis de los algoritmos de formación de imáge-
nes SAR. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
xv
Figura 5.2: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo obtenido con el algoritmo
FDBP. Se muestra la magnitud y fase de la imagen. (Fuente propia) . 98
Figura 5.3: Blanco ubicado dentro de la zona de interpolación. (Fuente propia) . 99
Figura 5.4: Imagen SAR de un blanco dentro de la zona de interpolación obteni-
do con el algoritmo FDBP. Se muestra la imagen en magnitud y fase.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 5.5: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo obtenido con el algoritmo
RMA. Se muestra la magnitud y fase de la imagen. (Fuente propia) . 100
Figura 5.6: Blanco usado para comprobar la presencia de una zona de reconstruc-
ción en el algoritmo RMA. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 5.7: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo ubicado en la zona de no
reconstrucción, obtenido con el algoritmo RMA. Se muestra la imagen
en magnitud y fase. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 5.8: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo reconstruido con el algo-
ritmo FDBP, incrementando el valor de Ls. Se muestra el resultado en
magnitud y fase. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 5.9: Zonas de reconstrucción del algoritmo RMA. Las zonas oscuras de la
escena de la imagen indican las zonas de no reconstrucción, mientras
que las zonas claras son las zonas de reconstrucción. (Fuente propia) 102
Figura 5.10: Imagen SAR de un blanco que cumple las recomendaciones del algorit-
mo RMA. Se muestra la imagen en magnitud y fase. (Fuente propia) 103
Figura 5.11: Efecto de la apertura sintética Ls en la fase de la imagen SAR obtenida
con el algoritmo RMA. Reconstrucción de la imagen con: (a) Ls = 1.2m,
(b) Ls = 4m. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 5.12: Imagen SAR obtenida con el algoritmo DLIP en magnitud y fase. (Fuen-
te propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 5.13: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco puntual. Imagen SAR en
magnitud del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP, (c) RMA y (d)
DLIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 5.14: (a) Imagen teórica en fase de un blanco puntual. Imagen SAR en fase
del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. 108
xvi
Figura 5.15: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco pseudo-continuo en forma
de “T”. Imagen SAR en magnitud del blanco, empleando el algoritmo:
(b) FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . 110
Figura 5.16: (a) Imagen teórica en fase de un blanco pseudo-continuo en forma de
“T”. Imagen SAR en fase del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP,
(c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 5.17: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco pseudo-continuo de la pa-
labra “UNI”. Imagen SAR en magnitud del blanco, empleando el algo-
ritmo: (b) FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . 112
Figura 5.18: (a) Imagen teórica en fase de un blanco pseudo-continuo de la palabra
“UNI”. Imagen SAR en fase del blanco, empleando el algoritmo: (b)
FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 5.19: Perfiles de Rango obtenidos con 3 algoritmos distintos de un blanco
puntual ubicado en la posición (Azimut,Rango): (a)(0,5)m, (b)(0,2)m,
(c)(0,7)m, (d)(0,9)m. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 5.20: Perfiles de Azimut obtenidos con 3 algoritmos distintos de un blanco
puntual ubicado en la posición (Azimut,Rango): (a)(0,5)m, (b)(0,2)m,
(c)(0,7)m, (d)(0,9)m. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 5.21: Cerro Pucruchacra, vista aérea. Se muestra el blanco y la ubicación
aproximada del radar GB-SAR. (Fuente: Google Maps) . . . . . . . 122
Figura 5.22: Imágenes SAR en magnitud de un blanco real, obtenido con los algorit-
mos: (a) FDBP y (b) RMA. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 5.23: Mapa de desplazamientos (interferograma) del blanco real generados
con dos imágenes SAR, a su vez obtenidas con los algoritmos: (a) FDBP
y (b) RMA. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Figura 5.24: Ubicación de los 4 puntos de prueba en el mapa de desplazamientos.
(Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Figura 5.25: Gráficas de deslizamientos para 4 puntos de prueba: (a) P1, (b) P2, (c)
P3 y (d) P4. (Fuente propia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1: Características de las funciones de enventanado. [18] . . . . . . . . . 31
Tabla 2.2: Parámetros usados en las pruebas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tabla 2.3: Parámetros que fueron usados en las pruebas con el algoritmo RMA . 36
Tabla 3.1: Principales parámetros eléctricos y mecánicos de un sistema de forma-
ción de imágenes con radares SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tabla 3.2: Parámetros de la escena de la imagen SAR. . . . . . . . . . . . . . . 56
Tabla 3.3: Parámetros del sistema usados en la simulación de datos. . . . . . . . 56
Tabla 4.1: Parámetros eléctricos y mecánicos usados en la explicación de los pasos
del algoritmo FDBP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tabla 4.2: Tiempos de procesamiento del algoritmo FDBP usando 4 interpoladores. 67
Tabla 4.3: Obtención de la resolución y máximo SSL de los perfiles de rango em-
pleando las ventanas de Hanning y Hamming, para el caso de un blanco
puntual reconstruido usando el algoritmo FDBP. . . . . . . . . . . . 69
Tabla 5.1: Parámetros geométricos del blanco pseudo-continuo. . . . . . . . . . 97
Tabla 5.2: Parámetros empleados para la simulación e implementacion de los algo-
ritmos de formación de imágenes SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Tabla 5.3: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo
realizado con el algoritmo FDBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Tabla 5.4: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo
realizado con el algoritmo RMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Tabla 5.5: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo
realizado con el algoritmo DLIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Tabla 5.6: Parámetros eléctricos y mecánicos empleados en la comparación de al-
goritmos de formación de imágenes SAR. . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tabla 5.7: Parámetros geométricos usados para la comparación de algoritmos de
formación de imágenes SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tabla 5.8: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco puntual,
usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP. . . . . . . . . . . . . . . . 109
xviii
Tabla 5.9: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco pseudo-
continuo en forma de “T”, usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP. 111
Tabla 5.10: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco pseudo-
continuo de la palabra “UNI”, usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tabla 5.11: Posiciones de los blancos usados en las pruebas de PSLR. . . . . . . 115
Tabla 5.12: Valores de PSLR (en dB) a lo largo del eje de Rango para 4 blancos
puntuales empleando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP. . . . . . . 116
Tabla 5.13: Valores de PSLR (en dB) a lo largo del eje de Azimut para 4 blancos
puntuales empleando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP. . . . . . . 117
Tabla 5.14: Complejidad computacional aproximada del algoritmo FDBP . . . . 118
Tabla 5.15: Complejidad computacional aproximada del algoritmo RMA . . . . . 119
Tabla 5.16: Complejidad computacional aproximada del algoritmo DLIP . . . . . 120
Tabla 5.17: Complejidad computacional de los algoritmos implementados . . . . 120
Tabla 5.18: Tiempo de procesamiento para 3 casos de blancos simulados: 1 blan-
co puntual y 2 blancos pseudo-continuos, calculado para los algoritmos
FDBP, RMA y DLIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Tabla 5.19: Parámetros eléctricos, mecánicos y geométricos usados en las pruebas
con datos reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Tabla 5.20: Tiempo de procesamiento de los algoritmos FDBP y RMA para un blan-
co real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Tabla 5.21: Desplazamientos promedios de los 4 puntos de prueba en función a los
algoritmos FDBP y RMA. Todos los valores se muestran en (mm). . . 126
Tabla 5.22: Cuadro comparativo de los tres algoritmos implementados: FDBP, RMA
y DLIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
PRÓLOGO
El propósito del presente trabajo es determinar el algoritmo de formación de imágenes
más adecuado para una aplicación de monitoreo de deslizamientos con radares GB-SAR.
Para ello en primer lugar se implementan tres algoritmos, los cuales son Frequency Domain
Back Projection (FDBP), Range Migration Algorithm (RMA) y Discrete Linear Inverse Pro-
blem (DLIP). Como segundo paso, se realiza una comparación entre ellos bajo los siguientes
criterios, los cuales son la calidad de reconstrucción de la imagen, la calidad de enfoque y el
coste computacional.
Esta tesis espera demostrar que alguno de los algoritmos implementados cumpla los re-
querimientos para ser usado en el proyecto “Desarrollo de un radar de apertura sintética para
monitoreo de deslizamientos”, realizado en el Instituto Geofísico del Perú (IGP).
La validación de los algoritmos implementados se realiza empleando datos obtenidos
por simulación, y dos tipos de blancos: puntuales y pseudo-continuos. Estos datos fueron
generados mediante un algoritmo implementado con el lenguaje de programación Python 3.
El trabajo se limita solo al desarrollo de la primera etapa de un Sistema de Monitoreo de
Deslizamientos con radares GB-SAR, es decir la etapa de formación de imágenes SAR, sin
embargo para las pruebas y análisis de los algoritmos con datos reales se usan directamente
las ecuaciones de otras técnicas de procesamiento de imágenes SAR, sin presentar muchos
detalles de ellas.
Esta tesis se organiza en cinco capítulos y dos anexos.
En el Capítulo I, se describe una breve introducción del uso de los radares GB-SAR para
monitorear deslizamientos, luego se presenta la problemática, el estado del arte y finalmente
el objetivo general y los objetivos específicos.
En el Capítulo II, se presenta un breve marco teórico en el cual se describen los conceptos
más importantes para entender este trabajo, tales como: radares y radares GB-SAR, proce-
samiento digital de señales usados en formación de imágenes SAR, y una introducción al
lenguaje de programación Python, el cual se usó para implementar los algoritmos. También
se revisa la literatura relacionada a la implementación de cada uno de los tres algoritmos y a
los criterios de comparación de algoritmos.
En el Capítulo III, se presenta la descripción del radar GB-SAR que se usará, la geometría,
2y el proceso para obtener los datos simulados.
En el Capítulo IV, se describe el desarrollo de la implementación de los tres algoritmos
de formación de imágenes SAR: FDBP, RMA y DLIP.
En el Capítulo V, se presenta el análisis de los resultados que consisten de las pruebas
de cada algoritmo con datos simulados y reales, y la comparación entre ellos en términos de
calidad de reconstrucción de la imagen, calidad de enfoque y coste computacional.
Luego se presentan las conclusiones, recomendaciones, los anexos y la bibliografía. Res-
pecto al contenido de los Anexos, en el Anexo A se presentan los programas de cada algorit-
mo implementado, ellos se muestran en forma de pseudocódigo para el mejor entendimiento
de los programas, además se incluye un enlace de un repositorio digital de todos los progra-
mas realizados. En el Anexo B se presenta la demostración de uno de los pasos del algoritmo
FDBP.
Este trabajo forma parte del proyecto “Desarrollo de un radar de apertura sintética para
monitoreo de deslizamientos”, realizado en el Instituto Geofísico del Perú (IGP) - Sede Ra-
dio Observatorio de Jicamarca (ROJ), el cual involucra la construcción de un radar SAR, el
procesamiento de los datos y el análisis de los mismos para estimar mapas de desplazamien-
tos de tierra.
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
1.1 Panorama de los deslizamientos en el Perú
Los deslizamientos se caracterizan por la ruptura y desplazamiento de pequeñas o grandes
masas de suelo, rocas, rellenos artificiales o combinaciones de estas. Debido a la morfología
del territorio peruano, un 80% del territorio es altamente susceptible a los diferentes tipos
de movimientos en masa, entre ellos los deslizamientos de tierra, esto de acuerdo al mapa de
susceptibilidad del Instituto Geológico Minero y Metalúrgico (INGEMMET) [1]. Los luga-
res más susceptibles a deslizamientos de tierra, de acuerdo a este mapa, se encuentran cerca
a la cordillera de los andes, debido a las altas pendientes que se encuentran en estos lugares.
En el Perú este fenómeno natural es fuente de varios daños a la población, principalmente
en la temporada de lluvias. De acuerdo al Instituto Nacional de Defensa Civil (INDECI),
durante el periodo de los años 2003-2012 se registraron a nivel nacional un total de 172 500
personas afectadas solo por este fenómeno natural [2]. Como caso particular se presenta uno
de los deslizamiento más recientes y de gran magnitud ocurrido en el distrito de Cuenca,
Huancavelica en el año 2014, que afectó a 150 familias y dañó el 50% de la infraestructura
física, además de obstruir el cauce del río Mantaro ocasionando inundaciones en su margen
derecha, todo esto de acuerdo a un reporte del Instituto Geofísico del Perú (IGP) [3].
Las principales causas de los deslizamientos son las lluvias y los movimientos sísmicos.
Las lluvias pueden ser intensas en corto tiempo, o en menor intensidad pero de larga du-
ración, los cuales remojan el suelo y la roca provocando desplazamientos de tierra; estos
se presentan principalmente entre los meses de setiembre y mayo en la sierra y selva del
territorio Peruano.
La observación, investigación y conocimiento de los deslizamientos es la estrategia base
planteada por el INDECI para la prevención y atención de este desastre natural. Es por ello
que varias instituciones, como el INGEMMET vienen realizando estudios de deslizamientos
en diversas partes del Perú, elaborando posteriormente informes técnicos (mapas de riesgo)
los cuales sirven como base para la posterior toma de decisiones. El monitoreo de desli-
zamientos forma parte de estos estudios para poder analizar la evolución temporal de este
fenómeno natural.
41.2 Antecedentes del monitoreo de deslizamientos con radares SAR
Las técnicas tradicionales para monitorear deslizamientos de superficies de tierra se carac-
terizan por proveer información precisa de un conjunto de puntos dentro del área de des-
lizamiento, ya sea usando técnicas de tipo geotécnico como extensómetros, inclinómetros,
distanciómetros, etc; o de tipo topográfico como triangulación manual, estación total o medi-
ciones con GPS [4]. Estas técnicas son efectivas midiendo información puntual de una zona
de deslizamiento, pero se vuelven imprácticas si se quiere monitorear toda una zona conti-
nua, debido a la cantidad de instrumentos que se tendrían que colocar y a la inaccesibilidad
de algunos lugares dentro de la zona de estudio para colocar los instrumentos, motivo por el
cual ciertas zonas se quedarían sin monitorear.
El monitoreo de deslizamientos usando la técnica de los radares de Apertura Sintética
Interferométrica Diferencial de Estación Terrena (GB-DInSAR) [5], solucionan los inconve-
nientes de las técnicas tradicionales mencionados anteriormente, debido a las ventajas que
posee. La primera de ellas, es que es una técnica de sensado remoto, eso implica que el ins-
trumento se puede ubicar en un lugar alejado de la zona de monitoreo, al frente del objetivo
por ejemplo, lo que conlleva a una instalación más fácil y segura de los instrumentos. La se-
gunda ventaja es que posee una amplia área de cobertura, de unos cuantos km2 generalmente,
permitiendo obtener mediciones de lugares inaccesibles por las técnicas tradicionales. Una
tercera ventaja es la alta precisión de las mediciones de los desplazamientos, en el orden de
las unidades de milímetros para el radar usado en este trabajo. La última ventaja es que el
radar puede operar en todo tipo de climas, con presencia de lluvias o neblina por ejemplo, y
también puede operar las 24 horas del día por periodos largos de tiempo (varios meses) [4].
La técnica GB-DInSAR se basa en los conceptos de radares de apertura sintética (SAR)
y en técnicas interferométricas (InSAR). Los resultados esperados se representan median-
te gráficas de la evolución temporal de los desplazamientos en puntos deseados o en zonas
particulares del blanco. Las figuras 1.1(a) y (b) muestran las etapas principales de la técni-
ca GB-DInSAR. En primer lugar, se forman las imágenes SAR complejas In a partir de los
datos adquiridos con un radar GB-SAR (data cruda). Luego se generan los mapas de des-
plazamientos (interferogramas) ∆r1 empleando la técnica InSAR, la cual consiste en restar
las fases de dos imágenes SAR consecutivas para obtener un interferograma, tal como se
muestra en la siguiente ecuación:
∆r1 = ∆φ
λ
4pi
(1.1)
La tercera etapa de la técnica GB-DInSAR consiste en aplicar una máscara para considerar
solo las zonas de alta coherencia, es decir las zonas que tienen una alta relación señal a ruido
5Formación	de
imagen	SAR
Técnica	InSAR Máscara Evolución	de	losdesplazamientos
Data
cruda
Data
cruda
Formación	de
imagen	SAR
1
1
2 3 4
(a)
1
1
2 3 4
Text
P1
(b)
Figura 1.1: Etapas principales de la técnica GB-DInSAR: (a) diagrama de bloques, (b)
esquema gráfico. (Fuente propia)
(SNR), obteniéndose así los interferogramas ∆r2. Finalmente se grafica y analiza la evolución
temporal de los desplazamientos en ciertas zonas o cotas del mapa. Los desplazamientos
obtenidos están en el orden de la longitud de onda empleada λ , en específico varían desde
-λ /4 hasta λ /4, tal como se muestra en la ecuación (1.1). Por ejemplo, si se usa un radar con
frecuencia 15GHz se pueden medir desplazamientos menores a los 5mm, por ello que se dice
que esta técnica tiene una precisión milimétrica. Esto limita las aplicaciones de la técnica,
es decir solo se puede aplicar efectivamente a fenómenos cuyos cambios progresivos en el
tiempo sean lentos (en el orden de la longitud de onda), como es el caso de los deslizamientos
de tierra lentos, para otros casos donde hay cambios bruscos en un corto intervalo de tiempo
como los huaycos los resultados no son tan confiables.
1.3 Problemática
En el Instituto Geofísico del Perú (IGP) - sede Radio Observatorio de Jicamarca (ROJ) se
viene desarrollando el proyecto “Desarrollo de un radar de apertura sintética para el moni-
6toreo de deslizamientos” [6], [7], el cual consiste en realizar el monitoreo de deslizamientos
usando la técnica GB-DInSAR. Una de los pasos principales de la técnica es la formación de
las imágenes SAR, y su importancia se debe a que los resultados finales, es decir los mapas
de desplazamientos, dependen en gran medida con el grado de exactitud con que se obtienen
las imágenes SAR, en especial su fase.
Las imágenes SAR se obtienen empleando alguno de los algoritmos de formación de imá-
genes SAR presentes en la literatura, pero tienen que cumplir algunos requisitos dadas por el
tipo de aplicación en específico que se necesita. El primero es que debe de ser un algoritmo
capaz de formar una imagen tanto en campo cercano como en campo lejano. El segundo
requerimiento, es la no simplificación o aproximación del modelo de señal en el algoritmo,
tanto en magnitud como en fase, esto para poder preservar la fase de las imágenes SAR y
así tener el menor error posible. El tercer requerimiento es que el algoritmo reconstruya una
imagen 2D cuyo tamaño en el eje de azimut (eje del riel) sea mucho mayor al tamaño de
la apertura sintética dada por el tamaño del riel, esto se requiere ya que el radar posee una
apertura sintética de tamaño 1-2m, mientras que el tamaño de las imágenes formadas son
de 1Km por lado aproximadamente. Una amplia mayoría de algoritmos no cumplen esta
condición en especial los que son usados con radares SAR aéreos o satélites en los que su
relación de tamaños es contrario, es decir, el tamaño de las aperturas sintéticas son mucho
más grandes que el tamaño de las imágenes formadas. Considerando estos requerimientos,
surge la necesidad de buscar los algoritmos que cumplan las condiciones dadas y escoger el
algoritmo más adecuado para aplicarlo al proyecto mencionado.
1.4 Estado del arte
Los radares de apertura sintética SAR, se desarrollaron como una técnica para formar imá-
genes de blancos remotos ubicados sobre un terreno. En 1953 se obtuvo la primera imagen
SAR de una parte de la localidad de Key West en Florida, EE.UU; para ello se empleó un
avión que transportó la instrumentación SAR [8]. En 1978 la NASA puso por primera vez un
radar SAR sobre un satélite para usarlo en aplicaciones oceanográficas, luego de ello varios
otros países hicieron lo mismo. Las primeras aplicaciones de los radares SAR fueron para
vigilancia, tales como detectar aviones o tanques enemigos, luego se expandieron a varias
disciplinas de la ciencia, yendo desde la geofísica hasta la arqueología.
Durante la década de los años 1990 a 2000 se empezaron a utilizar los radares GB-SAR
para monitorear los desplazamientos diferenciales en estructuras de reservorios de agua [9].
Luego se extendieron a aplicaciones de monitoreo de deslizamientos, glaciares, laderas cu-
biertas de nieve, minas a tajo abierto, entre otras aplicaciones que requirieron del monitoreo
7de deformaciones [10]. Las ventajas que presentan los radares tipo GB-SAR son su alta sen-
sitividad a las pequeñas deformaciones, su amplia cobertura de algunos Km2 y la capacidad
de formar imágenes continuamente.
Uno de los primeros algoritmos de formación de imágenes para radares GB-SAR que se
desarrollaron fue el algoritmo Back Projection [11]. Luego se desarrollaron otros algoritmos
más, tales como [12]: Range-Doppler, Range Migration (RMA) y Chirp Scaling. Los pa-
rámetros más usuales que se buscaron mejorar al desarrollar un nuevo algoritmo fueron la
reducción del tiempo de procesamiento, el menor consumo de recursos computacionales y
la facilidad de la implementación.
El algoritmo que más se emplea en aplicaciones de monitoreo de deslizamientos con ra-
dares GB-SAR es el algoritmo Back Projection [5], [13]. Las ventajas que presenta son: la
reconstrucción de imágenes cuya dimensión en azimut es mucho mayor a la apertura sintéti-
ca, el bajo consumo de recursos computacionales y la flexibilidad para escoger la ubicación
de la escena de la imagen así como el número de puntos, con un mínimo impacto en el tiem-
po de procesamiento. A la actualidad se sigue empleando este algoritmo en la mayoría de
casos. Por otra parte, no se encontró información de estudios comparativos de algoritmos
de formación de imágenes para esta aplicación, lo cual permita escoger otros algoritmos o
confirmar el uso del algoritmo Back Projection.
1.5 Objetivos
Esta tesis presenta un objetivo general y tres objetivos específicos, los cuales se enuncian
a continuación.
1.5.1 Objetivo General
Implementar y comparar tres algoritmos de formación de imágenes SAR, usando un
radar de apertura sintética de estación terrena GB-SAR, para una aplicación de moni-
toreo de deslizamientos superficiales de tierra.
1.5.2 Objetivos Específicos
Implementar los algoritmos de formación de imágenes Frequency Domain Back Pro-
jection (FDBP), Range Migration Algorithm (RMA) y Discrete Linear Inverse Pro-
blem (DLIP).
Evaluar los tres algoritmos implementados con datos obtenidos por simulación y datos
reales.
Comparar los tres algoritmos implementados en términos de calidad de reconstrucción
de la imagen, calidad de enfoque y coste computacional.
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 Fundamentos de radares
Los radares de apertura sintética de estación terrena GB-SAR 1 se basan en conceptos fun-
damentales de la teoría de radares, por ello se explicarán algunos de estos conceptos que se
usarán en este trabajo como son: la ecuación del radar y la forma de onda SFCW.
2.1.1 Ecuación de radar
El radar GB-SAR usado presenta una configuración biestática debido a la presencia de una
antena para transmisión y otra para recepción, por lo tanto la ecuación del radar para este
caso (hard targets) se muestra a continuación: [8]
Po
Pin
=
G1G2λ 2σ
(4pi)3.(R1R2)2
(2.1)
Donde:
Pin es la potencia de transmisión
Po es la potencia de recepción
G1,G2 son las ganancias de la antena de transmisión y de recepción respectivamente
σ es el Radar Cross Section (RCS) del blanco
λ es el número de onda asociada a la frecuencia usada
R1,R2 es la distancia del blanco hacia el transmisor y receptor respectivamente.
En la ecuación (2.1) no se consideran las pérdidas del sistema como atenuaciones de
canal, de la atmósfera, entre otros. En la figura 2.1 se muestra la geometría usada para la
terminología.
El término RCS 2 o tambien llamado sección transversal de dispersión, cuyo símbolo
es σ , se refiere al área efectiva de un objeto (blanco) cuando es iluminado por una onda
plana proveniente de la onda transmitida, y el cual presenta unidades de superficie (m2).
El objeto que presenta un alto valor de RCS es el reflector de esquina 3 (diedro y triedro),
motivo por el cual son usados como blancos en varias pruebas de algoritmos de formación
de imágenes SAR. Este término es proporcional a la reflectividad, la cual es la relación de
energías electromagnéticas (EM) entre la onda reradiada hacia el receptor y la onda que
1Ground Based - Syntethic Aperture Radar
2Radar Cross Seccion
3También llamado Corner Reflector, es una superficie que consta de 2 o 3 planos perpendiculares entre ellos,
y que refleja los rayos incidentes directamente hacia la fuente.
9Generador
Blanco
Antena 
RX
Receptor
Antena 
TX
Figura 2.1: Geometría usada para la obtención de la ecuación del radar. (Adaptado de
[8])
intercepta al blanco. Por esta razón en varias fuentes [12], [5] se asocia el término σ a la
reflectividad del blanco, y en este trabajo también se adoptará lo mismo.
La ecuación (2.1) se puede simplificar con las siguientes consideraciones. Ambas antenas
del radar GB-SAR están sujetas a una plataforma móvil y debido a que la distancia de sepa-
ración entre antenas d es pequeña respecto a la distancia de los blancos (d R1 & d R2),
se realiza la siguiente aproximación:
R1 ≈ R2 = R (2.2)
La ganancia de las dos antenas son iguales para el caso del radar GB-SAR empleado, por
esto se cumple la siguiente relación:
G1 = G2 = G (2.3)
Por lo tanto, la ecuación del radar quedaría del siguiente modo, tomando en cuenta las dos
consideraciones anteriores:
Po
Pin
=
G2λ 2σ
(4pi)3R4
(2.4)
La ecuación (2.4) es similar a la ecuación del radar para el caso monoestático [8], por
consiguiente el radar GB-SAR usado se considera como un caso monoestático aproximado.
Una consecuencia importante de la ecuación del radar es la expresión del rango de De-
tección del Radar, el cual es la máxima distancia del blanco (Rmax) que puede ser detectado
10
sobre el piso de ruido del radar, y está dado por: [8]
Rmax = (
Pin
Pmin
A2e f fσ
4piλ 2
)
1/4
(2.5)
Donde:
Pmin es la mínima potencia recibida para que el radar aun detecte señales recibidas.
Ae f f es el área de apertura efectiva de la antena.
2.1.2 Formas de onda de las señales de transmisión y recepción
El radar GB-SAR empleado usa una señal de onda continua de frecuencia a pasos SFCW
4 [8]. Esta señal se forma emitiendo un conjunto de subondas continuas de corta duración
y de frecuencia única. Las frecuencias de cada subonda son incrementadas secuencialmente
cada paso ∆ f , tal como se muestra en la figura 2.2. En un solo barrido de señal SFCW,
N subondas son generadas, cada una con una frecuencia discreta de fn = f0 + n.∆ f con
n = 0,1,2, . . . ,(N − 1). Cada subonda tiene una duración pequeña τ y es generada cada
cierto tiempo T partiendo del inicio. El ancho de banda BW de la señal es:
BW = ( fN−1− f0)+∆ f (2.6)
BW = N.∆ f (2.7)
La señal SFCW presenta la ventaja de barrer un amplio ancho de banda usando un hardware
simple, como un analizador vectorial de redes (VNA) en este caso. Este tipo de señal permite
obtener el rango de los blancos empleando el siguiente procedimiento, el cual se usará en la
implementación de los algoritmos de formación de imágenes SAR. Suponiendo que el blanco
está a un rango R0 del radar GB-SAR, con un solo barrido de señal SFCW transmitida hacia
el blanco, la fase de la onda recibida es proporcional al rango y esta dado por la siguiente
Tiempo
Frecuencia
1er barrido de la señal SFCW
Figura 2.2: Señal SFCW en el plano Tiempo-Frecuencia. (Adaptado de [8])
4Stepped Frequency Continuous Wave
11
ecuación: [8]
Es[f] = Ae− j2kR0 (2.8)
Donde Es[f] es la señal recibida (campo eléctrico), A es la amplitud y k el número de onda
correspondiente al vector de frecuencias f. El valor 2 presente en la fase se debe al recorrido
de ida y vuelta de la onda. Por lo tanto se puede obtener el rango R0 tomando la transformada
inversa de Fourier (IFT) de Es[f], a la señal resultante se le suele llama perfil de rango del
blanco 5.
2.2 Fundamentos de radares GB-SAR
El radar de apertura sintética SAR 6 es una técnica de sensado remoto usado para formar
imágenes de blancos sobre un terreno o escena. Se caracteriza por generar una antena larga
efectiva (apertura sintética) usando técnicas de procesamiento de señales y antenas físicas
pequeñas, con el objetivo de conseguir resoluciones pequeñas en la dimensión de azimut
durante el proceso de formación de una imagen SAR. La apertura sintética se forma mediante
el movimiento de la plataforma que transporta a la instrumentación del radar SAR. Los
medios usuales que se emplean como plataformas del radar son: aviones (airborne SAR),
satélites (spaceborne SAR) y estaciones terrenas (GB-SAR).
Los radares de Apertura Sintética de Estación Terrena (GB-SAR) suelen emplear como
plataforma una estructura mecánica móvil montada sobre un riel fijo al suelo, el riel puede
ser lineal como el radar GB-SAR que se usa en este trabajo o también curvo. Estos radares
son comúnmente usados en aplicaciones de alcance cercano como monitoreo de desliza-
mientos o de edificios [5], [4]. Posee una instrumentación portable y un tiempo de ejecución
relativamente corto (10 m en el caso del radar usado) el cual permite la adquisición de los
v Franja
Footprint
Apertura sintética
Figura 2.3: Modo Stripmap del radar GB-SAR.(Adaptado de [8])
5Range Profile
6Synthetic Aperture Radar
12
datos de manera simple, rápida, y con gran estabilidad.
El modo de operación que emplea el radar GB-SAR es stripmap SAR 7 , en este modo se
usan antenas de lado, dos en este caso, las cuales permanecen fijas durante todo el periodo
de ejecución, con su ancho de haz apuntando siempre en la misma dirección y barriendo
una franja del terreno paralelo a la dirección del movimiento, tal como se presenta en la
figura 2.3. La huella del haz de la antena sobre el terreno se llama footprint. En este modo
la región de la imagen debe de permanecer siempre en el ancho de haz de la antena real en
cada posición de la apertura sintética.
2.2.1 Geometría
Las imágenes SAR en este trabajo se formarán sobre un plano de ejes coordenados: Azimut
y Rango. Estas coordenadas o dimensiones se muestran en la figura 2.4 y se definen del
siguiente modo:
Azimut: 8 Es la primera coordenada de la imagen SAR la cual corresponde a la direc-
ción alineada con el vector velocidad de la plataforma o a la trayectoria de la apertura
sintética. En este trabajo, el eje coordenado de la dimensión de azimut coincide con la
dirección del riel lineal, tal como se muestra en la figura 2.4.
Rango: Es la distancia entre el radar y el blanco. En este trabajo este término tam-
bién se referirá a la segunda coordenada de la imagen SAR, la cual corresponde a la
dirección perpendicular al eje de azimut. Se presentan 2 tipos:
• Rango inclinado: 9 Es la distancia de línea de vista (LOS 10) ‘r’ entre el radar y
el blanco (mostrado en la figura2.4). También hace referencia al eje coordenado
v
Azimut
Rango de
tierra
Rango inclinado
Apertura	sintética
Blanco
Figura 2.4: Geometría usada para la formación de imágenes SAR. (Fuente propia)
7En el modo Stripmap el ancho de haz de las antenas barren una franja de terreno paralelo a la dirección de
movimiento.
8Cross range
9Slant range
10Line Of Sight
13
perpendicular al eje de azimut en la dirección LOS radar-blanco. Al mencionar
la coordenada de rango a lo largo del desarrollo de este trabajo, se referirá a este
tipo de rango.
• Rango de tierra: 11 Es la distancia proyectada sobre el terreno en la dirección
radar-blanco, mostrada en la figura 2.4.
2.2.2 Resolución
La resolución en radares SAR se entiende como la capacidad de distinguir o discriminar entre
dos blancos cercanos, es decir, si 2 blancos se separan por una distancia menor a la resolución
del sistema, estos no se podrán distinguir separadamente en la imagen final. En radares GB-
SAR se encuentran 2 tipos de resoluciones: rango y azimut, uno por cada dimensión de la
imagen, los cuales se explicarán a continuación.
Resolución en rango
La resolución en rango está determinado por la habilidad del radar de distinguir 2 blancos
puntuales por separado en la dirección del rango inclinado, el cual se muestra en la figura
2.5. Para radares GB-SAR que usan la señal SF-CW, la resolución en rango esta dado por la
siguiente expresión: [8]
∆r =
c
2BW
(2.9)
Como se observa en la ecuación (2.9), la resolución en rango depende exclusivamente del
ancho de banda de forma inversamente proporcional, es decir, para obtener valores pequeños
de resolución es necesario aumentar el ancho de banda BW de la señal. El radar GB-SAR
que se usa suele emplear 100MHz como ancho de banda, para esta frecuencia se obtiene
una resolución de 1.5m, si se aumenta el ancho de banda a 300MHz se logra una resolución
menor de 0.5m.
v
Azimut
Rango de 
tierra
Rango 
inclinado
Figura 2.5: Resolución en rango y azimut del radar GB-SAR. (Adaptado de [14])
11Ground range
14
Resolución en azimut
Es la resolución medida en la dirección de azimut. En radares de apertura real (RAR), esta
resolución depende del tamaño de la antena:
θ = λ/l (2.10)
∆x = rθ = r(
λ
l
) (2.11)
Donde “r” es el rango del blanco y “l” es el tamaño de la antena. Analizando las ecua-
ciones anteriores se observa que para obtener una buena resolución (∆x pequeño) se necesita
una antena de dimensiones grandes. Por ejemplo, para obtener una resolución de 1m a un
rango de 1Km con una frecuencia de 15GHz, se necesitaría una antena de 20m, el cual es
un valor alto, y si se quisiera aumentar el tamaño de la imagen, las dimensiones crecerían
aún mas, lo cual lo vuelve impráctico en la mayoría de los casos.
Los radares SAR solucionan este inconveniente, permitiendo obtener valores pequeños
de resolución usando antenas de dimensiones pequeñas. La expresión de la resolución en
azimut para radares GB-SAR es el siguiente, el cual se muestra en la figura 2.5: [8]
∆x = r
λ
2Ls
(2.12)
Donde “Ls” es el tamaño de la apertura sintética. Como se puede observar en la ecuación
anterior la resolución ya no depende del tamaño de la antena sino de la apertura sintética,
e indica que para obtener resoluciones más pequeñas basta con incrementar el tamaño de la
apertura sintética. Lo anteriormente dicho conlleva a la idea de poder aumentar la apertura
sintética lo más que se pueda para obtener resoluciones cada vez más pequeñas, sin embargo
hay un límite en el incremento de la apertura sintética a partir del cual la resolución ya
no disminuye más. La razón del límite es el modo de operación stripmap empleado, el cual
condiciona que la escena de la imagen debe de ser iluminada por el ancho de haz de la antena
en todas las posiciones de la apertura sintética. Por este hecho, se presentan 2 expresiones de
la resolución en azimut de acuerdo a [14] , la clasificación depende de un rango crítico Rc, si
el blanco esta a un rango mayor a Rc la resolución se mantiene como el dado en la ecuación
(2.12), pero si el rango es menor a Rc la resolución es un valor constante e igual a:
∆x = l/2 (2.13)
Donde l es el tamaño de la antena real. Para calcular el valor de Rc se usa la siguiente
expresión:
Rc =
Lsl
λ
=
Ls
θ
(2.14)
Para el radar GB-SAR usado, se calculó el valor de Rc, se consideró el tamaño de la aper-
15
tura sintética Ls = 1.4m y una antena de bocina de ancho de haz de θ = 18o, reemplazando
estos valores se obtiene:
Rc =
Ls
θ
=
1.4
18× pi180
Rc = 4.5m
El resultado anterior indica que para distancias menores a 4.5m la resolución en azimut se
mantiene constante y es igual a la mitad de la longitud de la antena. Para distancias mayores,
la resolución en azimut varía dependiendo al tamaño de la apertura sintética y al rango r .
2.2.3 Conceptos básicos de formación de imágenes
Una imagen SAR posee 2 dimensiones, azimut y rango en este caso, con sus respectivas
resoluciones en cada dimensión. Cada celda de resolución contiene información de amplitud
y fase. Como ya se mencionó anteriormente, la resolución en rango está dado por la técnica
de la forma de onda SFCW, mientras que la resolución en azimut lo determina la técnica
SAR. Por lo tanto la imagen SAR es formada por el conjunto de celdas de resolución. Para
generar las imágenes SAR se emplean algoritmos de formación de imágenes, los cuales
emplean términos básicos como: histórico de fase, resolución en rango, resolución en azimut,
y se explicarán a continuación.
Histórico de Fase
El histórico de fase, también llamado data cruda, es el conjunto de datos adquiridos por el
radar GB-SAR, y conforman los datos de entrada a los algoritmos de formación de imáge-
nes. Si se usa un radar GB-SAR con forma de onda SF-CW, entonces los datos adquiridos
son organizados en una matriz de 2 dimensiones: posiciones del riel y frecuencias. Por este
hecho, se menciona que el histórico de fase está en el dominio frecuencia-espacio. El tipo de
dato de la matriz es complejo, es decir cada dato posee magnitud y fase.
Perfil de rango
El perfil de rango es la forma de onda recibida del blanco que ha sido previamente iluminado
con el radar con suficiente ancho de banda en frecuencia (barrido de frecuencia). Para este
caso, en que se transmite una señal SFCW, el perfil de rango se obtiene mediante una trans-
formada inversa de Fourier (IFT) de la señal recibida. El perfil de rango permite obtener el
rango del blanco desde la ubicación actual del radar. En la parte superior de la figura 2.6 se
muestra un ejemplo del perfil de rango de un blanco puntual, en el cual el pico de la señal
corresponde al rango Ro.
16
Perfil de azimut
El perfil de azimut permite determinar la posición del blanco en azimut, y puede ser obtenido
con las señales retornadas del blanco, haciendo un barrido de todas las posiciones del riel
para una frecuencia constante. En la parte inferior de la figura 2.6 se muestra un ejemplo del
perfil de azimut para un blanco puntual, en el cual el valor máximo en magnitud corresponde
a la posición en azimut del blanco.
2.3 Conceptos de PDS usados en formación de imágenes SAR
Los algoritmos de formación de imágenes a implementar están basados en conceptos fun-
damentales de procesamiento digital de señales (PDS) tales como: transformada discreta
de Fourier (DFT y FFT), decimación, interpolación, muestreo de datos y filtros/ventanas.
A continuación se explicarán cada uno de estos conceptos con enfoque en la formación de
imágenes SAR.
2.3.1 Transformada de Fourier
La transformada de Fourier (FT) juega un papel importante en la formación de imágenes
SAR, ya que es una herramienta útil para convertir las señales del dominio del espacio al
dominio de la frecuencia, y viceversa. Los conceptos de la FT se utilizan a menudo en el
desarrollo de los algoritmos FDBP y RMA. A continuación se explicarán los conceptos
más importantes de la teoría de la transformada de Fourier que se usan en aplicaciones de
formación de imágenes SAR.
Rango
Azimut
Rango
Magnitud
Magnitud
Azimut
Perfil de Rango
Perfil de Azimut
Blanco
Figura 2.6: Representación gráfica del perfil de rango y azimut para un blanco puntual.
(Fuente propia)
17
Transformada continua de Fourier (CTFT)
La transformada continua de Fourier (CTFT) está definida para señales aperiódicas en tiempo
continuo, tal como un pulso en el dominio del tiempo. El par de transformadas de Fourier
tiene la siguiente expresión: [15]
S( jω) =
∫ +∞
−∞
s(t)e− jωtdt (2.15)
s(t) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
S( jω)e jωtdω (2.16)
Donde S( jω) es el espectro continuo de la señal s(t). La ecuación (2.15) es la definición de
la transformada de Fourier, mientras que la ecuación (2.16) es de la transformada inversa de
Fourier.
La CTFT principalmente se emplea para realizar un análisis teórico, mas no se puede
emplear en una aplicación real de procesamiento de señales, ya que como el procesamiento
se realiza en computadoras, una señal continua necesitaría infinitos puntos para poder repre-
sentarla, y esto implicaría que la computadora tenga una memoria (RAM y disco duro) de
tamaño infinito también, lo cual resulta impráctico y hasta imposible en la realidad.
Transformada discreta de Fourier en tiempo continuo (DTFT)
Para poder implementar una transformada de Fourier en la práctica es necesario discretizar la
señal continua s(t), la cual está presente, por ejemplo, en el dominio del tiempo. Por lo tanto,
el tipo de transformada de Fourier que se aplica a las señales dicretas es la transformada
discreta de Fourier en tiempo continuo (DTFT). El resultado es la señal S(e jω) (espectro)
presente en el dominio de la frecuencia, la cual es una señal continua: [15]
S(e jω) =
+∞
∑
n=−∞
s[n]e− jωn (2.17)
s[n] =
1
2pi
∫
2pi
S(e jω)e jω (2.18)
Por lo tanto tampoco se puede usar esta transformada en una aplicacion practica ya que no
se podria representar el espectro de una señal, ya que es continua.
Transformada discreta de Fourier (DFT)
Es en este sentido que nace la transformada discreta de Fourier (DFT), el cual esta definido
para señales discretas en ambos dominios, del tiempo y de la frecuencia.
La FT presenta varios tipos de expresiones dependiendo del tipo de señal usado, motivo
por el cual se identificarán en primer lugar la clase de señales que se usan en aplicaciones de
formación de imágenes SAR. La señal de entrada a los algoritmos es el histórico de fase, el
cual es una señal discreta y finita, con uno de sus dimensiones en el dominio del espacio y
la otra en el dominio de la frecuencia. Por otro lado, la señal de salida es una imagen SAR
18
la cual esta compuesta por píxeles, y por lo tanto también pertenece a una señal discreta y
finita, con ambas dimensiones en el dominio del espacio.
Debido a que ambas señales son discretas y finitas, y además el procesamiento u obtención
de ellas se realizarán en un computador, el tipo de FT que se empleará será la transformada
discreta de Fourier (DFT) y su complemento la transformada inversa de Fourier discreta
(IDFT). Como se usan señales en el dominio del espacio, la definición de la DFT se muestra
en este dominio. La DFT transforma una señal discreta y finita del dominio del espacio s[n]
al dominio de la frecuencia S[k], por otro lado la IDFT realiza el proceso inverso llevando la
señal discreta y finita del dominio de la frecuencia al dominio del espacio, sus expresiones
se muestran en las ecuaciones (2.19) y (2.20) respectivamente: [16]
S[k] =
N−1
∑
n=0
s[n]e− j2pi
n
N k (2.19)
Donde: k = 0,1,2, . . . ,(N−1)
s[n] =
1
N
N−1
∑
k=0
S[k]e j2pi
k
N n (2.20)
Donde: n = 0,1,2, . . . ,(N−1)
Puesto que las señales usadas son imágenes, se debe de calcular la DFT en dos dimensio-
nes (2D-DFT). Sin embargo, debido a la propiedad de separabilidad este cálculo se puede
realizar determinando la 1D-DFT en cada dimensión por separado y luego multiplicando
ambas expresiones. Una etapa del proceso de generación de imágenes SAR donde se emplea
muy a menudo la DFT es en la obtención del perfil de rango, la cual servirá como ejemplo
para explicar posteriormente las propiedades y conceptos adicionales de la DFT. El perfil
de rango se obtiene mediante una aplicación directa de la IDFT al histórico de fase Sk,i, en
específico se selecciona una fila del histórico de fase correspondiente a una posición del riel,
quedando representado por Sk, y se aplica la IDFT obteniendo sn. En la figura 2.7 se muestra
en la parte superior la gráfica del histórico de fase simulado en el dominio de la frecuencia
(una fila) de un blanco puntual con rango teórico Ro = 3m, y en la parte inferior de la misma
figura se muestra el perfil de rango representado en el dominio del espacio, donde la ubica-
ción de la señal de mayor intensidad indica aproximadamente el rango del blanco, el cual es
de Ro = 2.84m en este caso.
Terminología del espectro
Antes de explicar los términos más importantes dentro de la gráfica del espectro de una
señal como resultado de su DFT, se determinarán los dominios empleados. Como ya se
mencionó anteriormente, la imagen (señal) esta definido en el dominio del espacio y su DFT
está representado en el dominio de la frecuencia espacial o del número de onda k. Como una
19
IDFT
Figura 2.7: Perfil de Rango (abajo), después de una IDFT a una fila del histórico de fase
(arriba) presente en el dominio frecuencial. (Fuente propia)
de las dimensiones del histórico de fase esta definido en el dominio de la frecuencia f , se
tendrá que convertir al dominio k. La relación típica entre frecuencia f y número de onda k’
es el siguiente:
k′ =
2pi
c
f (
rad
m
) (2.21)
Sin embargo, al usar radares SAR esta expresión cambia a la siguiente: [8], [17]
k = 2k′ (2.22)
k =
4pi
c
f (2.23)
El primer término dentro del espectro es la resolución en frecuencia espacial ∆k, el cual
está determinado por la longitud del intervalo de observación Lr del dominio del espacio (ver
20
parte inferior de la figura 2.7), y posee la siguiente expresión:
∆k =
2pi
Lr
(2.24)
El segundo término dentro del espectro es el intervalo de observación en frecuencia Lk ,
el cual está determinado por la resolución espacial ∆r, mostrado en la figura 2.7, y posee la
siguiente expresión:
Lk =
2pi
∆r
(2.25)
Las ecuaciones (2.24) y (2.25) también se usan para calcular ∆r, Lr a partir de ∆k, Lk
cuando se cambia del dominio de la frecuencia espacial hacia dominio del espacio usando la
IDFT.
Propiedades de la DFT
En el presente trabajo se usarán 2 propiedades importantes de la DFT: la periodicidad y el
desplazamiento circular, explicados a continuación.
La primera propiedad es la periodicidad, la cual señala que el par s[n] y S[k] son señales
discretas periódicas de periodo N, osea:
s(n+N) = s(n)
Con n = 0,1,2, . . . ,N−1.
S(k+N) = S(k)
Con k = 0,1,2, . . . ,N−1
En la figura 2.8 se muestra un ejemplo de esta propiedad, como se puede ver tanto el
espectro como el perfil de rango son periódicos. Puede parecer un poco difícil entender esta
propiedad ya que cuando se aplica la DFT a una señal, el resultado no parece ser periódico,
sin embargo la periodicidad existe, solo que es implícita y el resultado obtenido conforma
solo un periodo de la DFT. Por lo tanto antes de aplicar la DFT o IDFT a una señal discreta
finita, es conveniente pensar que la señal discreta es periódica y que las muestras de la señal
conforman un periodo, así también es conveniente pensar en el resultado de la DFT e IDFT
como una señal discreta periódica donde las muestras obtenidas conforman un periodo. La
propiedad de periodicidad de la DFT permite entender otras propiedades y conceptos de la
DFT como el relleno de ceros o el desplazamiento circular, así mismo permite realizar el
cálculo correcto de la DFT. Una segunda propiedad de la DFT es el desplazamiento circular
de una secuencia. De acuerdo a [16] un desplazamiento circular de una señal discreta s[n] de
N muestras equivale a un desplazamiento lineal de su extensión periódica s˜[n], en la cual la
señal desplazada circularmente se suele representar como el índice de modulo N:
s′(n) = s(n−m,modulo N) (2.26)
21
IDFT
Figura 2.8: Ejemplo de la periodicidad de la DFT tanto en el dominio del espacio (ima-
gen superior) como de la frecuencia (imagen inferior). (Fuente propia)
s′(n) = s((n−m))N (2.27)
donde m ∈ Z.
Para valores positivos de m el desplazamiento se da en sentido antihorario o hacia la
derecha en su representación periódica, y para valores negativos en el sentido contrario.
La DFT de la señal desplazada s′(n) es similar a la DFT de la señal original s(n) en
magnitud, pero con un cambio en la fase tal como se muestra a continuación: [16]
Si:
s(n)
DFT−−−⇀↽ −
IDFT
S(k)
Entonces:
s((n−m))N
DFT−−−⇀↽ −
IDFT
S(k)e− j(
2pik
N )m (2.28)
22
Donde 0 ≤ n ≤ N−1. Como se puede ver en la segunda expresión, el cambio de fase es
una adición de una fase lineal a la fase del espectro original.
De manera análoga, un desplazamiento circular en el dominio de la frecuencia hace variar
la fase de la IDFT, tal como se muestra a continuación: [16]
Si:
x(n)
DFT−−−⇀↽ −
IDFT
X(k)
Entonces:
x(n)e j(
2pin
N )m
DFT−−−⇀↽ −
IDFT
X((k−m))N (2.29)
Donde 0≤ n≤ N−1.
Para comprobar que esta propiedad solo hace variar la fase de la señal mas no su magnitud
se usará el ejemplo del perfil de rango. Se desplazará 3 unidades a la derecha (m= 3) la señal
en el dominio de la frecuencia Sk y se obtendrá su IDFT sn, luego se graficará la magnitud y
fase de la señal sin desplazar, el cual se muestra en la figura 2.9, y desplazada, tal como se
muestra en la figura 2.10. En ambas figuras se puede apreciar que la magnitud se mantiene
igual mientras que la fase cambia.
Zero padding
La propiedad del relleno con ceros o también llamado zero- padding consiste en alargar
el periodo de la señal mediante la adición de ceros [16] con el objetivo de sobremuestrear
el espectro de la señal para que tenga una representación más precisa. Una de las ventajas
que ofrece es que permite usar interpolaciones sencillas, como una interpolación lineal, para
obtener una representación más aproximada del espectro de la señal. Teniendo un espectro
más preciso de la señal es más fácil identificar características importantes como amplitudes
y posiciones de los picos, los cuales en el contexto de formación de imágenes SAR permiten
obtener las posiciones más aproximadas de los blancos. La aplicación del zero-padding se
puede realizar tanto en el dominio del espacio como de la frecuencia. La forma de efectuar
el zero-padding en este trabajo, y la más común, es agregando ceros al final de la secuencia
de datos de la señal, es decir, si se tiene una señal en el dominio del espacio s(n) de longitud
L y se quiere realizarle un zero-padding agregándole (N−L) ceros, la nueva señal szp(n) de
longitud N tendrá la siguiente expresión:
szp(n) =
N︷ ︸︸ ︷
{x(0),x(1), . . . ,x(L−1),︸ ︷︷ ︸
L
0, . . . ,0︸ ︷︷ ︸
(N-L)
}
En la figura 2.7 se muestra el perfil de rango sin realizar un relleno de ceros, como se
puede observar no se identifica bien el rango del blanco, debería ser 3m pero de la gráfica
23
(a)
(b) (c)
Figura 2.9: Ejemplo de la propiedad de desplazamiento circular de la DFT. En este caso
no se presenta desplazamiento. (a): Espectro, (b) Perfil de Rango en magnitud, (c) Perfil
de Rango en fase. (Fuente propia)
se obtiene un valor de 2.8m. Para identificar mejor el rango, se realiza el relleno de ceros,
al espectro de la señal se le agrega 4 veces el tamaño de la señal con ceros al final de la se-
cuencia, es decir N = 5L, obteniéndose un perfil de rango mas preciso y pudiendo identificar
un rango del blanco de 3.006m, el cual es un valor más cercano al rango teórico del blanco,
estos resultados se muestran en la figura 2.11.
Cuando se le agregan muchos ceros a la señal, el espectro de su DFT se asemeja mucho
al espectro de su transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La DTFT se define
para una señal discreta no periódica en el dominio del tiempo, siendo su espectro una señal
continua y periódica. Por lo tanto, se dice que el zero-padding tiene el efecto de aproximar
la DFT de una señal al de su DTFT, mientras más ceros se agreguen más se cumplirá esta
relación.
El zero-padding no mejora la resolución frecuencial del sistema, simplemente proporcio-
24
(a)
(b) (c)
Figura 2.10: Ejemplo de la propiedad de desplazamiento circular de la DFT. En es-
te caso sí se presenta desplazamiento con m = 3. (a) Espectro, (b) perfil de Rango en
magnitud, (c) perfil de Rango en fase. (Fuente propia)
na puntos de interpolación adicionales los cuales dan la apariencia de una resolución menor
en el resultado final. En otras palabras, el proceso de relleno de ceros de una señal es similar
al hecho de calcular la DFT a la señal original y luego realizar una interpolación tipo Sinc
al espectro de la señal del tamaño del zero-padding. El término resolución frecuencial del
sistema hace referencia a la capacidad de distinguir o discriminar el espectro de 2 señales
cuyas frecuencias son cercanas, en el contexto de los radares SAR tiene la misma definición
de resolución explicada en la sección 2.2.2, la cual señala que la resolución es la capacidad
de distinguir 2 blancos cuando están separados una cierta distancia corta.
La resolución frecuencial del sistema es distinto a la resolución frecuencial ∆k, y para
mejorarlo se tiene que aumentar más datos a la señal original, mientras que una mejora
de ∆k se puede obtener con un zero-padding. La misma idea se aplica cuando la señal se
encuentra en el dominio de la frecuencia, por lo que el relleno con ceros al espectro no
25
(a)
(b)
Figura 2.11: Ejemplo de zero padding. (a) Espectro con relleno de ceros, (b) Perfil de
rango mejor definido. (Fuente propia)
mejora la resolución espacial del sistema.
Como ejemplo se presenta el caso del perfil de rango de 2 blancos puntuales simulados
cuyos rangos son 3m y 3.4m, el objetivo es poder discriminar la ubicación de sus rangos
en el perfil de rango obtenido después de sacar la IDFT al espectro de la señal, en la par-
te superior de la figura 2.12 se muestra el perfil de rango sin y con relleno de ceros no
pudiendo discriminar la ubicación exacta de cada blanco aún cuando se haya realizado el
zero− padding, para mejorar la resolución y así identificar las posiciones, se incrementa el
numero de muestras originales L y se obtienen los perfiles de rango respectivos sin y con
relleno de ceros (mostrado en la parte inferior de la figura 2.12), como se puede observar ya
se pueden discriminar bien las ubicaciones de cada blanco por separado, siendo más fácil la
26
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.12: Perfil de rango del espectro con un número de muestras L, (a) sin zero-
padding, (b) con zero-padding. Perfil de rango del espectro con un número de datos
L′ > L, (c) sin zero-padding, (d) con zero-padding. (Fuente propia)
identificación cuando hay relleno de ceros.
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
La Transformada Rápida de Fourier (FFT) es una manera eficiente y rápida de evaluar la DFT
de una señal. Normalmente para efectuar la DFT se necesitan N2 operaciones matemáticas,
sin embargo al emplear técnicas de FFT como el de Cooley-Tukey, la cantidad de operaciones
se pueden reducir al orden de N log2(N), cuando N es una potencia de 2, el cual se puede
lograr con un zero-padding a la secuencia original [16].
Para el cálculo de la FFT se emplea la función fft de Python, cuyo resultado se interpreta
del siguiente modo: la primera mitad de la secuencia corresponden al lado positivo del espec-
tro, mientras que la otra mitad corresponde al lado negativo, esto se justifica por la propiedad
de periodicidad de la DFT; para poder centrar el espectro, es decir, ubicar las frecuencias
negativas primero y luego las positivas se puede hacer uso de la función fftshift.
27
(a) (b)
(c)
Figura 2.13: Interpolación constante por partes, aplicado a un perfil de rango, en sus 3
variantes: (a)Previous, (b)Next, (c)Nearest. (Fuente propia)
2.3.2 Interpolación
La interpolación es una herramienta matemática que permite calcular los valores descono-
cidos entre las muestras de una señal discreta. Por ejemplo, si se tiene la señal del perfil de
rango s[n] con dominio r[n], y se desea saber el valor de s[n] para un valor de rango entre
r[ni] y r[ni+1], la interpolación resuelve este problema. De acuerdo a [18] la interpolación
es una operación para convertir una secuencia de datos discretos s[n] en una función conti-
nua s(t). Además señala que un importante requerimiento de la función interpolada es que al
momento de evaluar en puntos múltiplos del periodo de muestreo de la señal Ts, estas tienen
que ser iguales a las muestras correspondientes, es decir:
s(t)|t=n.Ts = s[n] (2.30)
La función continua s(t) permite obtener valores en otros puntos de la señal que no están
presentes en s[n]. Los valores de t tienen que pertenecer al dominio de la secuencia r[n].
Los tipos de interpoladores definen el tipo de función matemática que tendrá s(t), siendo
28
uno de ellos los interpoladores locales [18]. Los interpoladores locales, también llamados
spline, definen una función matemática por partes, es decir, en cada intervalo del dominio
r[n], donde cada intervalo comúnmente va de una muestra r[ni] a la siguiente consecutiva
r[ni + 1]. De acuerdo a la función matemática, este interpolador a su vez se divide en las
siguientes 3 clases:
1. Interpolador Constante
Es el interpolador más simple, y la función matemática que se usa es una función
constante de valor Yo. La constante Yo puede tener alguno de los siguientes 3 valores:
la muestra inferior s[ni], la muestra superior s[ni + 1], o la misma muestra s[ni] pero
con un cambio de intervalo alrededor de ella:
s(t) = s[ni] , (ni− 12)Ts ≤ t < (ni+
1
2
)Ts (2.31)
Dentro de la función de Python interp1d, la cual es usada para realizar interpolación
de señales, a los 3 tipos mencionados debido al valor de Yo se les llama interpolador
constante tipo Previous, Next y Nearest respectivamente.
En la figura 2.13 se muestra un ejemplo del perfil de rango de la figura 2.7 interpo-
lado con un interpolador constante de los 3 tipos: Previous, Next y Nearest.
2. Interpolador Lineal
Este tipo de interpolador forma la función s(t) simplemente conectando con una línea
recta dos muestras consecutivas s[ni] y s[ni + 1]. En la figura 2.14 (a) se muestra un
ejemplo del perfil de rango de la figura 2.7 interpolado linealmente.
3. Interpolador Polinomial
Este tipo de interpolador define un polinomio en cada intervalo. Los polinomios pue-
den ser de grados distintos en cada intervalo y la respuesta es más suave y sin muchas
oscilaciones. Se prefiere hacer esto cuando se tiene una cantidad considerable de pun-
tos de interpolación. Los tipos de interpoladores polinomiales más comunes son la
cuadrática y la cúbica. Como ejemplo se muestra en la figura 2.14 el perfil de rango de
la figura 2.7 interpolado con un interpolador polinomial por partes cuadrático.
2.3.3 Decimación
También llamado submuestreo, de acuerdo a [18] hacer decimación por M significa crear
una secuencia con menor tasa de muestreo, manteniendo una muestra por cada M muestras
de la señal original. Los valores de M son enteros positivos mayores a 1. Debido a que
esta operación descarta (M− 1) de M muestras, puede causar pérdida o distorsión de la
información en la secuencia original, y para entender ello se realiza un análisis en el dominio
de la frecuencia.
29
(a) (b)
Figura 2.14: (a)Interpolación lineal e (b) interpolación polinomial cuadrática, aplicado
a un perfil de rango. (Fuente propia)
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.15: Decimación del perfil de rango. (a) Espectro sin decimar, (b) Perfil de
rango sin decimar, (c) Espectro decimado, (d) Perfil de rango decimado. (Fuente propia)
Decimación en el dominio de la frecuencia
Una señal decimada en el dominio de la frecuencia tiene la siguiente expresión: [18]
SMD(e jω) =
1
M
M−1
∑
k=0
S(e
j
M (ω−2pik)) (2.32)
30
La DTFT se usa como referencia, sin embargo, la explicación irá dirigida a la DFT. De
la expresión anterior se puede decir que el espectro resultante se compone de la suma de
M copias superpuestas del espectro original S(e jω), donde cada copia está desplazada en
frecuencia por un múltiplo entero de 2piM , es decir, por un múltiplo entero de
Lk
M para el caso
de la DFT, y el resultado de la suma es extendido en el eje de frecuencia por un factor de M.
Debido a la superposición la señal decimada está propensa a un solapamiento 12, en el cual
el espectro de la señal decimada ya no puede recuperar el espectro de la señal original debido
a la distorsión que se genera, por lo que habría pérdida de información en el dominio del
espacio. Para evitar el solapamiento la señal se puede filtrar antes de efectuar la decimación.
El filtrado se realiza con un filtro pasabajo de frecuencia de corte ωc = pi/M, para el caso de
la DFT la frecuencia de corte sería Lk2M .
En la figura 2.15 se muestra como ejemplo la decimación del perfil de rango por un
factor M = 3, en la parte superior se observa el perfil de rango y su espectro sin decimar, el
numero total de muestras es Np = 33; mientras que en la parte inferior se muestra el perfil de
rango decimado junto a su espectro, el número total de muestras es de N′p = Np/M = 11 tal
como lo esperado por la decimación. La decimación se obtuvo en el dominio de la frecuencia
aplicando previamente un filtro pasabajo al espectro, en forma práctica, se recortó el espectro
en 3 partes iguales y se seleccionó solo el primer intervalo para finalmente calcular su IDFT.
Un detalle mostrado en la figura es que el periodo de muestreo ∆r varía, el cual es el objetivo
de la decimación, pero no lo hace el intervalo de observación Lr el cual se mantiene igual
debido a que no hay cambio de ∆k, este hecho obedece a las ecuaciones del espectro de la
DFT, mostrado en las ecuaciones (2.24) y (2.25).
La decimación se usa durante la implementación del algoritmo RMA para disminuir la
cantidad de píxeles de la imagen SAR, así como para reducir el tiempo de procesamiento del
algoritmo.
2.3.4 Filtros
Una gráfica de perfil de rango presenta lóbulos laterales, los cuales se hacen más evidentes
cuando se le aplica un zero-padding, el cual se muestra en la figura 2.16. Del mismo modo
que en el perfil de rango, una imagen SAR también posee lóbulos laterales, los cuales pueden
distorsionar la imagen final ante la presencia excesiva de estos, por lo que una alternativa para
reducirlos es el uso de los filtros.
Los filtros o ventanas reducen la magnitud de los lóbulos laterales indeseados, haciendo
que una imagen SAR se vea más suave y mejor definida. El único inconveniente que presenta
12Aliasing
31
Figura 2.16: Lóbulos laterales presentes en un perfil de rango. (Fuente propia)
es que bajan la resolución de la imagen final. Las funciones descritas anteriormente que se
aplican en el dominio de la frecuencia se les llama filtros y cuando se aplica en el dominio
del espacio se les llama ventanas, para efectos de explicación se llamarán a ambos términos
“ventana”. Los funciones de enventanado más usados para este propósito son:
Ventana de Hanning
Ventana de Hamming
Tabla 2.1: Características de las funciones de enventanado. [18]
Función de
enventanado Expresión
Ancho del Lóbulo
Principal (-3dB)
Máximo
SSL(dB)
Hanning h[n] = 0.5(1− cos 2pinN−1) 1.40 -32
Hamming h[n] = 0.53836−0.46164cos 2pinN−1 1.33 -43
En la tabla 2.1 se muestran las características principales de las 2 funciones de enventa-
nado y en la figura 2.17 se muestran sus gráficas respectivas. El término “Máximo SSL(dB)”
hace referencia a la diferencia de magnitudes entre el lóbulo principal y el mayor lóbulo
lateral expresado en dB. Ambas características de la tabla están referidas al espectro de las
ventanas. De acuerdo a la tabla 2.1 la ventana Hamming presenta mejores características,
debido a que no baja mucho la resolución (menor ancho de lóbulo principal) y atenúa más
los lóbulos laterales (menor valor de SSL).
Como ejemplo, se presenta el caso del perfil de rango de la figura 2.16, a la cual se le
aplica las ventanas de Hanning y Hamming. Para ello se multiplica el espectro de la señal
con la función de enventanado respectivo. En la figura 2.18 se muestran los resultados, como
se puede observar en ella la magnitud de los lóbulos laterales disminuyeron, siendo mayor el
efecto en la ventana Hanning, además se observa un aumento del ancho del lóbulo principal,
32
(a)
(b)
Figura 2.17: Funciones de enventanado junto a sus espectros. (a)Ventana de Hanning y
(b)Ventana de Hamming. (Fuente propia)
en mayor magnitud cuando se usa la ventana de Hanning.
2.4 Algoritmos de formación de imágenes SAR
En esta sección se revisó el estado del arte de los algoritmos a implementar posteriormente,
enfocándose principalmente en la ‘Implementación del algoritmo’. Los requisitos que deben
de tener los algoritmos revisados son: aplicables a radares GB-SAR y uso de una forma de
onda del tipo SF-CW; esto debido a que ya se tiene la instrumentación con estas caracterís-
ticas.
(a) (b)
Figura 2.18: Perfil de rango empleando: (a) Ventana Hanning, (b) ventana Hamming.
(Fuente propia)
33
Tabla 2.2: Parámetros usados en las pruebas.
Frecuencia Central ( fc) 5.7 GHz
Ancho de Banda (B) 600 MHz
Número de frecuencias (N f ) 401
Longitud de escaneo (L) 63 cm
Número de puntos de escaneo (Np) 22
2.4.1 Revisión del algoritmo FDBP
En la literatura se investigó información acerca del algoritmo FDBP, más que todo rela-
cionado a la implementación y que contenga las condiciones mencionadas anteriormente,
encontrándose el artículo [19]. En ella, usan la técnica GB-DInSAR para una aplicación de
Terrain Mapping 13 , y como parte de su procedimiento realizan la formación de imágenes
SAR usando el algoritmo FDBP. Respecto al algoritmo, se explican sus pasos, las considera-
ciones de algunos parámetros de medición, además de mencionar la instrumentación usada.
Instrumentación usada y obtención del histórico de fase
Respecto a la instrumentación empleada, se usa un radar GB-SAR el cual consta de 3 partes
principales: una unidad transmisora y receptora, un par de antenas y un riel lineal. La primera
parte es la unidad transmisora y receptora de señales del tipo SF-CW, para ello utilizan un
analizador de redes (HP 8753D). La segunda parte lo conforman 2 antenas de bocina y la
tercera parte es un riel lineal que genera la apertura sintética. El control de la parte mecánica
y electrónica es realizada por una computadora.
Los parámetros eléctricos y mecánicos mas importantes que se usan se muestran en la
tabla 2.2. Respecto a los valores de los parámetros de la tabla anterior, se puede deducir lo
siguiente: la frecuencia central obedece al fenómeno que se quiere estudiar así que la fre-
cuencia de 5.7GHz posiblemente es usada en aplicaciones de Terrain Mapping, con el ancho
de banda dado se puede obtener una resolución en rango de aproximadamente 25cm, el nú-
mero de frecuencias repercute en la obtención del Rango no ambiguo (RU ) el cual realizando
el cálculo sería de aproximadamente 100m, la apertura sintética determina la resolución en
azimut la cual tendría un valor máximo de 4.2m correspondiente al rango máximo teórico
RU , finalmente el número de pasos del riel determina el ángulo de visión máximo de la ima-
gen el cual sería aproximadamente de 27o respecto a una referencia perpendicular el eje del
riel.
La obtención del histórico de fase se realiza del siguiente modo. La unidad transmisora y
receptora consta principalmente de una sintetizador de microondas y un receptor de micro-
13Terrain mapping consiste en realizar mapas topográficos de un terreno dado. (Fuente: https://
www2.gov.bc.ca/)
34
ondas para la transmisión y la recepción de la señal respectivamente. El sintetizador genera
paso a paso señales continuas a valores discretos de frecuencia barriendo un ancho de ban-
da B. Luego, el sintetizador alimenta la antena transmitiendo la señal y proveyendo de una
referencia para la instrumentación receptora, la cual mide las componentes real (Im) y com-
pleja (Qm) de la señal recibida. Por otro lado, la apertura sintética es obtenida realizando un
barrido a lo largo de un riel horizontal ubicado de tal forma de iluminar el blanco en estudio.
Por lo tanto las componentes de la señal recibida, los cuales conforman el histórico de fase,
son medidas por cada frecuencia i del ancho de banda B y por cada posición k del riel. El
histórico de fase Emik presenta la siguiente expresión compleja:
Emik = I
m
ik + jQ
m
ik (2.33)
Pasos
El procedimiento que se sigue para formar la imagen es el siguiente. El valor en el punto n de
la imagen (In) es obtenido sumando todas las contribuciones de señal y tomando en cuenta
su histórico de fase Emik , representadas en las siguientes ecuaciones:
In =
1
N f Np
∑
k
R2n,kF
(k)
n (2.34)
F(k)n =∑
i
Ei,ke j
4pi fi
c (Rn,k−Ro) (2.35)
Donde:
Rn,k es la distancia entre el punto n de la imagen y la posición k del riel (uk).
Ro es una constante que toma en cuenta el retraso (delay) de los cables.
c es la velocidad de la luz.
Ambas expresiones se resuelven usando el siguiente procedimiento. La ecuación (2.35)
se evalúa como la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) del histórico de fase Eik
respecto a la dimensión de la frecuencia i. Lo anterior se realiza por cada posición k del
riel. Las muestras de la IDFT son ubicadas en rango equidistantemente cada ∆r = c/2B, asi
que por cada punto n de la imagen, se selecciona la muestra m de la IDFT, cuya distancia
en rango esta más cerca a la distancia entre el punto n y la posición k del riel (mostrado en
la figura 2.19), lo anterior mencionado se puede entender como una interpolación constante
tipo Nearest, luego se agrega el valor de esta muestra al valor respecto a la posición anterior
del riel k−1, el valor final de In se obtiene al iterar todas las posiciones del riel Np.
En los parámetros de medición se consideran 2 ajustes. La primera es que los rangos de
todos los blancos deben ser menores al Rango No Ambiguo (RU ), esto para que la escena de
la imagen este correctamente representada. En la ecuación (2.36) se muestra la expresión de
35
Figura 2.19: Esquema gráfico de la etapa de etapa de interpolación del algoritmo FDBP.
( Extraido de [19])
RU .
RU =
c
2∆ f
(2.36)
Donde ∆ f es el paso de frecuencia. Como regla práctica se sugiere que este valor de RU sea
igual a 2 veces la distancia del blanco deseado más distante que el radar pueda detectar.
El segundo ajuste es el muestreo a lo largo del eje del riel el cual debe cumplir las siguien-
tes condiciones:
L≥ c
2 fc∆θ
(2.37)
∆x≤ c
4 fc
(2.38)
Apreciaciones
De acuerdo a la revisión hecha a la fuente [19], los aspectos positivos son la explicación del
procedimiento usado y de las consideraciones de algunos parámetros de medición, asimis-
mo se detalla la instrumentación usada. Cabe resaltar que la instrumentación usada en esta
referencia es similar a la instrumentación que se dispone para la realización de este trabajo:
analizador vectorial de redes (VNA) como unidad transmisora y receptora, 2 antenas de bo-
cina y un riel lineal de mayor apertura sintética. Sin embargo, la fuente no lo aplica a un caso
de deslizamientos, no hace análisis de las imágenes reconstruidas ni tampoco hace pruebas
de la imagen reconstruida con datos simulados.
2.4.2 Revisión del algoritmo RMA
También denominado algoritmo ω − k, este algoritmo se origina de técnicas usadas en el
campo del procesamiento de señales sísmicas [12]. Se caracteriza por funcionar en el domi-
nio de la frecuencia y por requerir una interpolación 1D en particular llamada “Interpolación
STOLT”.
36
Se buscó en la literatura información acerca de la implementación del algoritmo RMA y
que cumplan las 2 condiciones: aplicable a radares GB-SAR y que emplee una señal del tipo
SF-CW. Se encontró una referencia que cumple ambas condiciones en el artículo [20], en el
cual se explica la instrumentación usada, los pasos y las pruebas con datos reales. Aparte de
ello, en el libro [21] se explican los pasos del algoritmo con un ejemplo sencillo y se realizan
pruebas con datos simulados. Una referencia adicional es el libro [17], en el cual se detallan
cada paso del algoritmo mostrando sus ecuaciones y explicaciones gráficas.
Instrumentación usada
La instrumentación que se usa en el artículo [20] es un radar GB-SAR el cual esta confor-
mado principalmente por un Analizador Vectorial de Redes (VNA) de la marca Rhode &
Schwarz ZVB20 para la transmisión y recepción de señales tipo SF-CW, 2 antenas de bocina
y de un sistema de posicionamiento lineal para generar la apertura sintética. Una computado-
ra controla la parte eléctrica y mecánica.
Los parámetros eléctricos y mecánicos más importantes que se usan se muestran en la
tabla 2.3. Respecto a los valores de los parámetros de esta tabla, se puede resaltar lo siguiente:
posee un ancho de banda alto con el cual se obtiene una resolución en rango (∆r) de 3.75cm
el cual es un valor pequeño, con el número de frecuencias dado se puede obtener un valor de
RU = 19m aproximadamente con el cual se puede formar una imagen de rango máximo 19m
y por último presenta una resolución en azimut de 2.34cm (rango = 100cm, f = 10GHz). El
histórico de fase es obtenido de la misma forma que el caso del algoritmo FDBP ya que usa
la misma forma de onda de transmisión: SF-CW, generándose una matriz en 2 dimensiones:
frecuencias y posiciones de la apertura sintética.
Pasos
De acuerdo a la referencia [17], el algoritmo RMA consta de 4 pasos:
1. Transformada de Fourier 1D respecto a la dimensión espacial
2. Filtro adaptado 14
3. Interpolación STOLT
4. Transformada de Fourier inversa 2D
Tabla 2.3: Parámetros que fueron usados en las pruebas con el algoritmo RMA
Frecuencia Central ( fc) 10 GHz
Ancho de Banda (B) 4 GHz
Número de frecuencias (N f ) 512,1024,2048
Longitud de escaneo (L) 128 cm
Número de puntos de escaneo (Np) 64
14También llamado Matched filter en la literatura.
37
En las referencias [20], [21], se presenta la implementación práctica de estos 4 pasos, los
cuales se pasarán a describir resumidamente.
Transformada de Fourier 1D respecto a la dimensión espacial
Se calcula la 1D-DFT del histórico de fase respecto a la componente espacial, osea en la
dirección de azimut. Esto convierte el histórico de fase s(xn,ω) en s(kx,ω). Adicionalmente,
se realiza el siguiente cambio kr = ω/c, resultando en s(kx,kr).
Filtro adaptado
En primer lugar se genera el factor del filtro adaptado :
sm f (kx,kr) = e( jRs
√
k2r−k2x) (2.39)
Donde Rs es la distancia en rango desde la apertura sintética hasta el centro de la escena de
la imagen.
Luego, se multiplica el resultado del primer paso con el factor del filtro adaptado :
smatched(kx,kr) = s(kx,kr).sm f (kx,kr) (2.40)
Interpolación STOLT
Es el paso crítico dentro de todo el algoritmo. Se transforma la matriz smatched(kx,kr) del
dominio (kx,kr) al dominio (kx,ky), mediante el siguiente cambio de variable:
ky =
√
k2r − k2x (2.41)
Con esto, una interpolación 1D es aplicado a lo largo de todos los valores de kr para
mapearlos en ky resultando en la matriz interpolada Stolt sst(kx,ky).
Transformada de Fourier inversa 2D
En este último paso, se aplica una transformada inversa de Fourier en ambas dimensiones
(2D-IDFT) a la matriz sst(kx,ky) para obtener la matriz S(X ,Y ) que representa la imagen
SAR.
Pruebas con datos simulados
En la siguiente referencia [21], se prueba el algoritmo RMA con datos simulados, es decir
datos generados por un programa de computador, en cuya fuente también se indica como se
generaron estos datos. Se prueban 2 casos. El primero es de un blanco puntual con coorde-
nadas de azimut xt1 = 0 ft y de rango yt1 = -10 ft cuyo resultado se muestra en la figura
2.20, un comentario de este resultado es que se puede apreciar la reconstrucción en el lugar
correcto, se pueden notar además la presencia de lóbulos laterales, y el eje del rango tiene
valores negativos debido a que se asumió la geometría dada en [17]. El segundo caso es de 3
blancos puntuales con coordenadas:
(xt1,yt1) = (3,−10)ft, (2.42)
38
Figura 2.20: Reconstrucción de un blanco puntual simulado usando el algoritmo RMA.
(Extraído de [21])
Figura 2.21: Reconstrucción de 3 blancos puntuales simulados usando el algoritmo
RMA. (Extraído de [21])
(xt2,yt2) = (−3,−15)ft, (2.43)
(xt3,yt3) = (−2,−10)ft, (2.44)
El resultado del segundo caso se muestra en la figura 2.21. También se puede observar
la correcta reconstrucción. Un detalle a notar después de mostrar ambas pruebas es que el
tamaño de la imagen en azimut se limita a la longitud de la apertura sintética, osea a 8 ft
(2.4 m). En la fuente [17] también ocurre lo mismo, se realizan pruebas cuyo tamaño de la
imagen en azimut es menor o igual a la apertura sintética.
Pruebas con datos reales
En la referencia [20] se realizan pruebas con datos reales adquiridos de diversos blancos
como: placa plana, cilindro, corner reflector, un modelo a escala de avión, entre otros. La
imagen reconstruida que resalta es del avión, el cual se muestra en la figura 2.22, se le
39
acompaña una imagen óptica del blanco para comparar e identificar el objeto reconstruido.
Sin embargo no se muestran valores de los ejes coordenados para analizar la ubicación del
blanco reconstruido.
Figura 2.22: Reconstrucción de un blanco real usando el algoritmo RMA. Izquierda:
blanco, Derecha: imagen SAR reconstruida. (Extraído de [20])
Apreciaciones
De la revisión del paper, se pudo obtener información para la implementación del algo-
ritmo RMA en 3 fuentes distintas, más que todo sobre la instrumentación usada y los pasos
detallados. También se obtuvo información de pruebas con datos simulados y una explica-
ción de la generación de los mismos.
Asimismo, se obtuvo información acerca de la realización de pruebas básicas con datos
reales de blancos de formas geométricas básicas, pero sin entrar mucho en el análisis de
las mismas. Lo que se pudo notar sin embargo es que las 3 fuentes se limitan a reconstruir
imágenes cuyo tamaño de la imagen en azimut es menor o igual al tamaño de la apertura
sintética, lo cual es una limitación ya que se busca reconstruir imágenes grandes cuyo tamaño
en azimut sea mucho mayor al tamaño de la apertura sintética.
2.4.3 Revisión del algoritmo DLIP
Como se mencionó en la sección introductoria se implementará el algoritmo DLIP, en el
cual se resolverá el problema inverso usando alguna técnica de Problemas de Inversión. Para
ello se buscó en la bibliografía algún trabajo referencial encontrándose la siguiente fuente
[22]. En esta referencia se puede encontrar el planteamiento del problema directo usando un
modelo de señal dado y el modelo Exploiding source, los cuales servirán para el desarrollo
posterior del algoritmo.
Planteamiento del Problema Directo
El problema directo consta de obtener el histórico de fase a partir del conocimiento de la
ubicación y la reflectividad de cada uno de los blancos. En la referencia [22], se realiza el
planteamiento del problema directo como parte de los pasos del algoritmo SAR migration. A
40
continuación se explicará este punto. En primer lugar, se asume un radar SAR con un patrón
de radiación omnidireccional el cual transmite un pulso p(t) desde la ubicación (0,y,0) hacia
el blanco (mostrado en la figura2.23). El blanco consiste de N blancos puntuales, modelado
con el modelo Exploiding source 15, cada uno con una posición (0,yi,zi) y reflectividad σi.
A continuación, la señal recibida es modelada del siguiente modo:
u(y, t) =
N
∑
i=1
σi p(t−2
√
(y− yi)2+ z2i
c
) (2.45)
Donde c es la velocidad de la luz. En este modelo se ignora el término 1/R2. A continuación
se toma una transformada de Fourier respecto a la variable t, obteniéndose la señal recibida
en el dominio de la frecuencia:
u(y,ω) = p˜(ω)
N
∑
i=1
σie
− j2ωc
√
(y−yi)2+z2i (2.46)
Los pasos del algoritmo aun continúan pero la última ecuación refleja ya el planteamiento
del problema directo para el caso particular de este trabajo de tesis, debido a que el histórico
de fase adquirido con los instrumentos está en el dominio (y,ω). Observando la ecuación
(2.46) se puede notar que conociendo las posiciones (yi,zi) y las reflectividades (σi) de los
blancos, se puede obtener el histórico de fase u(y,ω) simulado. En la fuente [21], utilizan una
ecuación similar a la ecuación (2.46) para obtener el histórico de fase simulado, mostrado en
la ecuación (2.47). El cambio que hicieron fue la supresión del término p˜(ω).
s(xn,ω) =
N
∑
i=1
atie(− j
2ω
c
√
(xn−xti)2+yti2) (2.47)
Donde ati es la reflectividad y (xti,yti) son las ubicaciones de los blancos puntuales. El radar
Figura 2.23: Geometría asumida para explicar el procedimiento del algoritmo SAR
migration. (Extraído de [22])
15El modelo Exploiding source, presenta las siguientes características principales de acuerdo a [22]: es inde-
pendiente de la onda incidente, explota y se propaga absolutamente hacia el receptor a lo largo de la dirección
de la onda incidente y no hay interacción entre las fuentes.
41
GB-SAR está ubicado en un plano cartesiano X −Y , con la apertura sintética en el eje x.
Por lo tanto por temas de simplicidad se usará la ecuación (2.47) como planteamiento del
problema directo .
Técnicas para resolver problemas de Inversión
Después de plantear el problema directo como un sistema lineal, se intentará resolver el
problema inverso usando los concepto de matriz inversa y pseudoinversa, cuyos principios
matemáticos básicos se explican a continuación.
Sea un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
Ax = b (2.48)
Si A es una matriz cuadrada no singular, la solución del sistema se obtiene tomando la
inversa de la matriz A: x = A−1b. Sin embargo si la matriz A no es una matriz cuadrada, no
se podrán obtener soluciones únicas y exactas, solo soluciones aproximadas. Para obtener
estas soluciones aproximadas se recurre al concepto de pseudoinversa de la matriz A.
La obtención de la pseudoinversa de A depende del rango de la matriz A y se presentan 2
casos. El primer caso se da cuando la matriz A tiene rango completo 16. Se dice que la matriz
A de tamaño m×n es de rango completo si su rango es el mínimo valor entre m y n:
r = mı´n(m,n) (2.49)
En este caso, se presentan 2 subcasos, uno para los sistemas subdeterminados y el otro
para los sistemas sobredeterminados: [23]
Sistemas subdeterminados (m < n)
Los sistemas subdeterminadas presentan más incógnitas que ecuaciones, presenta ade-
más un rango r(A) = m y generalmente hay infinitas soluciones, por lo que se escoge
aquel que tiene la mínima norma euclidiana . Es decir, se minimiza |x| sujeto a la
condición Ax = b. La solución se obtiene usando el método de los multiplicadores de
Lagrange, el cual da por resultado la expresión de la pseudo-inversa para este subcaso:
A† = AT (AAT )
−1
(2.50)
Sistemas sobredeterminados (m > n)
Los sistemas sobredeterminadas presentan más ecuaciones que incógnitas, tienen un
rango r(A) = n y generalmente no es posible encontrar soluciones, por lo que se escoge
aquella solución que presente el mínimo error. Por lo tanto, la solución es aquella
que minimice este error |b−Ax|. La solución se obtiene empleando el método de los
mínimos cuadrados, el cual da por resultado la expresión de la pseudo-inversa para
16Full Rank
42
este subcaso:
A† = (AT A)
−1
AT (2.51)
La solución general para ambos casos es:
x = A†.b (2.52)
El segundo caso, se da cuando la matriz A tiene rango deficiente 17, es decir cuando el rango
de la matriz A es menor al mínimo valor entre m y n, osea:
r(A)< mı´n(m,n) (2.53)
La pseudoinversa para este caso se calcula con la técnica de Descomposición en Valores
Singulares (SVD). En primer lugar se calcula la SVD de la matriz A:
Am×n =Um×mSm×nV Tn×n (2.54)
Donde S es una matriz diagonal m×n del mismo tamaño que la matriz A, de la forma:
S =

σ1 0 0 · · · 0 0
0 σ2 0 · · · 0 0
...
...
... · · · ... ...
0 0 0 · · · σp 0
 (2.55)
Con σ1 ≥ σ2 ≥ ·· · ≥ σp ≥ 0, donde p=mı´n{m,n}. Los valores σi son los valores singulares
de la matriz A.
En segundo lugar, se calcula la pseudoinversa usando la siguiente ecuación: [24]
A† =V S−1UT (2.56)
Donde S−1 tiene la siguiente forma para los valores singulares diferentes de cero:
S−1 =

1/σ1 0 0 · · · 0 0
0 1/σ2 0 · · · 0 0
...
...
... · · · ... ...
0 0 0 · · · 1/σp 0
 (2.57)
Si hay algún valor singular igual a cero, se completa con cero en su lugar correspondiente.
Finalmente, la solución de mínima longitud presenta la siguiente expresión:
x = A†b (2.58)
2.4.4 Criterios de comparación de algoritmos
Se buscó en la literatura los criterios para comparar algoritmos de formación de imágenes
con radares GB-SAR, encontrándose 2 referencias. La primera referencia [25] emplea 2
primeros criterios de comparación: Calidad de enfoque y ámbito de aplicación, mientras que
17Rank Deficient
43
la segunda referencia [26] emplea 3 criterios de comparación: Ámbito de aplicación, coste
computacional y precisión en la medición del desplazamiento. A continuación, se explican
cada uno de estos criterios de comparación.
Calidad de enfoque
La calidad de enfoque 18 se obtiene evaluando los perfiles de rango y azimut del blanco
reconstruido y calculando sus parámetros principales (mostrado en la figura2.24): resolución
en rango y azimut (medidos a −3 dB del máximo del lóbulo principal), el factor PSLR 19
y el factor ISLR 20. El parámetro PSLR es la relación entre la amplitud del mayor lóbulo
lateral y la amplitud del lóbulo principal, mientras que el parámetro ISLR es la relación
entre la energía de los lóbulos laterales (zonas oscuras en la figura 2.24) y la energía del
lóbulo principal (zona clara en la figura 2.24). Se realizaron 2 pruebas para evaluar este
criterio. La primera prueba consistió en reconstruir un blanco puntual simulado y calcular
los parámetros del perfil de rango. Las coordenadas polares del blanco son (r,φ). El perfil
de rango se obtiene por cada valor de φ y variando los valores de r. A partir de la gráfica del
perfil de rango se obtienen tres parámetros: resolución, PSLR e ISLR. Este procedimiento se
repite para cada algoritmo. Finalmente se compara numéricamente los parámetros obtenidos
con cada algoritmo, tanto para campo cercano como campo lejano.
La segunda prueba se realiza con datos reales, el cual consiste en reconstruir un blanco
real y obtener los perfiles de rango y azimut de las zonas de la imagen con mayor reflec-
tividad. Luego se compara gráficamente los perfiles obtenidos con los distintos algoritmos,
Valor máximo 
(Lóbulo principal)
Valor máximo 
(Lóbulos laterales)
Figura 2.24: Parámetros de un perfil de rango/azimut para el caso de un blanco puntual
simulado: resolución ∆r, PSLR e ISLR. (Adaptado de [27])
18Focusing quality
19Peak to Sidelobe Ratio
20Integrated to Sidelobe Ratio
44
tomando como base el perfil obtenido con el algoritmo que genera menores aproximaciones
en su modelo de señal.
Ámbito de aplicación
El ámbito de aplicación 21 se obtiene de las restricciones de las ecuaciones que rigen cada
algoritmo, se determina calculando los límites geométricos de la escena de la imagen que
puede reconstruir el algoritmo, límites en ambas coordenadas ya sean cartesianas (x,y) o
polares (r,φ ). Esto permite determinar si el algoritmo puede reconstruir imágenes solo para
campo cercano, campo lejano o ambos. Adicionalmente, según [25] se analizan los errores
de los algoritmos que poseen aproximaciones en su modelo de señal, por ejemplo errores de
posición (range migration) o de fase, para así determinar el ámbito de aplicación en las zonas
donde los errores son menores.
Coste computacional
En este criterio se evalúa el factor de coste computacional, el cual es la cantidad de recursos
que requiere un algoritmo para ejecutarlo, ya sea tiempo o memoria. El procedimiento que
se sigue es la obtención del coste computacional teórico y real, y luego la realización de una
comparación numérica.
El coste computacional teórico se obtiene evaluando la complejidad computacional de
cada paso del algoritmo y expresándolos en términos de la notación ‘Big-O’22. Por otra parte,
el coste computacional real se determina mediante una simulación calculando el tiempo de
procesamiento del algoritmo en 2 casos: campo cercano y campo lejano.
De la revisión de la literatura usando el parámetro de coste computacional se observó que
el tamaño de las imágenes de prueba no eran iguales para todos los algoritmos, y que se
podrían obtener resultados más confiables del coste computacional real si todas las imágenes
fueran del mismo tamaño.
Precisión en la medición de los desplazamientos
Bajo el criterio de precisión en la medición de los desplazamientos, se evalúa el factor de
precisión en la medición de los desplazamientos, realizándose una comparación numérica y
gráfica, tomándose para ello como referencia el factor proveniente de uno de los algoritmos.
El procedimiento para obtener este factor se ilustra en la Figura 2.25 y explica a conti-
nuación. En primer lugar se formaron las imágenes SAR usando un algoritmo de formación
de imágenes y datos reales adquiridos con el radar GB-SAR, se generaron un total de 60
21Application Scope
22Big-O es una métrica usado en ciencias de la computación para describir la eficiencia o complejidad de un
algoritmo
45
imágenes para este caso. Luego se obtienen los mapas de desplazamientos procesando las
imágenes SAR con la técnica interferométrica PS 23. Finalmente se escogen unas cotas de
prueba del mapa de desplazamientos, seis en este caso, para analizar su evolución temporal,
obteniéndose como resultado final gráficas de ‘Desplazamientos vs Tiempo’ por cada cota.
Este procedimiento se repite para cada algoritmo en evaluación.
Imagen SAR   Mapa dedesplazamientos 
Gráfico de
desplazamientos
(cota P1) 
Tiempo
Desplazamiento
P1
Figura 2.25: Procedimiento para obtener las gráficas de ‘Desplazamiento vs Tiempo’,
cada gráfica se obtiene respecto a una cota en específico (P1). (Fuente propia)
La comparación se realiza gráfica y numéricamente. La comparación gráfica involucra
evaluar la similitud entre las gráficas de desplazamientos obtenidos con cada algoritmo y una
gráfica de referencia obtenido con el algoritmo que no posee simplificaciones en su modelo
de señal. La comparación numérica se realiza calculando valores promedios y desviaciones
estándar de cada gráfica de desplazamiento.
Como comentario, se podría emplear la técnica GB-InSAR en reemplazo de la técnica
PS, la cual se explicó en la sección 1.2, debido a que realiza la misma función de obtener
mapas de desplazamientos a partir de imágenes SAR.
Calidad de reconstrucción de la imagen
El criterio de reconstrucción de la imagen está basado en la obtención de los errores en
magnitud y fase de las imágenes SAR reconstruidas. Los errores que se usarán son: el error
cuadrático medio (MSE), la raíz cuadrada del error cuadrático medio (RMSE), el error ab-
soluto medio (MAE) y el error máximo (ME).
Se usará la siguiente notación. Sea I una imagen SAR obtenida con algún algoritmo de
formación de imágenes y sea Iˆ la imagen original definida teóricamente con la cual se obtiene
el histórico de fase simulado. Por otro lado, sea Nx y Ny el número de píxeles de la imagen
SAR en los ejes x e y respectivamente. Con esta notación se expresan las fórmulas de los
errores:
1. Error cuadrático medio (MSE)
23Persistant Scatter es una técnica de sensado remoto que tiene la capacidad de medir y monitorear desplaza-
mientos de superficies de tierra en el tiempo.
46
El error MSE mide el promedio de los errores cuadráticos individuales. No presenta
valores negativos y es cero para una reconstrucción perfecta de la imagen. Una ven-
taja de este error es que resalta valores inesperados de los píxeles de la imagen. Está
definido por la siguiente expresión:
MSE =
1
NxNy
M
∑
j=1
N
∑
k=1
(I j,k− Iˆ j,k)2 (2.59)
2. Raíz cuadrada del error cuadrático medio (RMSE)
El error RMSE es la raíz cuadrada del error MSE. Se crea para hacer que el orden del
error esté en el mismo orden que los valores de los píxeles de la imagen. Está definido
por:
RMSE =
√√√√ 1
NxNy
M
∑
j=1
N
∑
k=1
(I j,k− Iˆ j,k)2 (2.60)
3. Error absoluto medio (MAE)
El error MAE es el promedio de los valores absolutos de los errores individuales. Tiene
un comportamiento lineal ya que todos los errores individuales son pesados igualmente
en el promedio. Está dado por:
MAE =
1
NxNy
M
∑
j=1
N
∑
k=1
|I j,k− Iˆ j,k| (2.61)
4. Error máximo (ME)
El error ME indica el máximo error absoluto de toda la imagen, esta dada por la si-
guiente expresión:
ME = ma´x |I j,k− Iˆ j,k| (2.62)
2.5 Lenguajes de programación para implementación de algoritmos
De acuerdo a la información revisada, los lenguajes de programación más usados para im-
plementar los algoritmos de formación de imágenes SAR son Python y Matlab. Entre estos
2 lenguajes, Python tiene la siguientes ventajas: es de código abierto permitiendo instalarlo
de manera gratuita en varios sistemas operativos, tiene una sintaxis sencilla, presenta varios
paquetes (librerías) para realizar procesamiento de señales e imágenes y tiene buen soporte
por la comunidad de desarrolladores y usuarios. Por estas razones se decidió usar Python en
este trabajo.
A continuación se describe este lenguaje y se detallan los paquetes usados. Python es
un lenguaje de programación interpretado y multiparadigma, que se caracteriza por poseer
una sintaxis sencilla que facilita la programación. Python agrega librerías, a los cuales se
les llama paquetes, en la cabecera de los programas para usar varias de sus funciones. Los
47
paquetes que se usarán en este trabajo son los que están relacionados al procesamiento de
señales, álgebra lineal y la realización de gráficas, estas son:
SciPy: Es un paquete usado para computación científica, el cual incluye paquetes de
procesamiento de señales e imágenes.
Numpy: Es un paquete usado para realizar operaciones con arreglos y matrices.
Matplotlib: Es un paquete usado para realizar gráficas.
Respecto a la instalación de Python, el programa de instalación se puede descargar de su
sitio oficial de manera gratuita https://www.python.org/downloads/, hay instaladores
para Windows, Mac OS y Linux. Sin embargo, en las últimas versiones de Mac OS y Linux
(Ubuntu), Python ya viene instalado por defecto. Hay 2 versiones de Python que se pueden
usar: Python 2 y Python 3, sin embargo Python 2 se quedó sin soporte por parte de los
desarrolladores desde el año 2020. En este trabajo se usó la versión de Python 3 en un sistema
operativo Linux (Ubuntu). El IDE que se usó fue Spyder debido a que está orientado al
análisis de datos, su interfaz gráfica de usuario (GUI) es similar a Matlab con ventanas de
ayuda, directorio actual, visualizador de variables, consola, entre otros; y ya viene instalado
con los paquetes de análisis de datos más importantes como SciPy, Numpy y Matplotlib.
CAPÍTULO III
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS
Un sistema de formación de imágenes con radares SAR está conformado por 2 etapas prin-
cipales: la adquisición de los datos y la implementación del algoritmo, el cual se muestra en
la figura 3.1. En el presente capítulo se explica detalladamente la primera etapa, es decir, la
“Adquisición de los datos”, y en el capítulo IV se desarrolla la segunda etapa.
Adquisición de
datos
Algoritmo de
formación de
imágenes SAR
Blanco
Data 
cruda Imagen SAR
Figura 3.1: Diagrama de flujo del sistema escogido de formación de imágenes con ra-
dares SAR. (Fuente propia)
El sistema de adquisición de datos se encarga de obtener los datos crudos, también llama-
do histórico de fase, de un radar GB-SAR. En este trabajo se emplean los datos crudos del
radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’, perteneciente al Instituto Geofísico del Perú (IGP) - sede Radio
Observatorio de Jicamarca (ROJ), quienes lo diseñaron y construyeron para realizar estudios
de deslizamientos de tierra. En las siguientes secciones se describen las partes principales
de este radar, su funcionamiento y la forma de adquirir los datos. Asimismo se explican las
criterios para seleccionar los parámetros de un experimento, se establece la geometría del
sistema y finalmente se explica la forma de generar un histórico de fase con datos simulados.
3.1 Radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’
En esta sección se describe tanto el hardware como el software del radar GB-SAR ‘IGP-
ROJ’, así como su funcionamiento.
Las características generales de este radar son:
Tipo de radar SAR: GB-SAR, con apertura lineal.
Modo de operación: Strip-map SAR.
Forma de onda de las señales: SF-CW.
En la figura 3.2 se muestra una vista del radar ‘IGP-ROJ’, el cual fue instalado en la
localidad de Cuenca, Huancavelica para realizar el estudio de deslizamientos en la zona.
49
3.1.1 Descripción del hardware y software
El radar GB-SAR construido posee una parte física (hardware) conformado por los distintos
instrumentos y equipos, y una parte de software conformado por los programas de funciona-
miento. La descripción que se realiza a continuación de cada una de las partes está basada
en las publicaciones realizadas por el IGP sobre el diseño y construcción del radar SAR,
principalmente de la referencia [6].
Los elementos principales del hardware se clasifican en 2 tipos: electrónicos y mecánicos.
Cada uno de estos elementos se explican en la siguiente lista:
1. Elementos electrónicos
Antenas
Son los elementos encargados de irradiar la señal de radiofrecuencia (RF) hacia el
área de interés (blanco). Se usan 2 antenas en total, una de transmisión (TX) y otra
de recepción (RX). El tipo de antena que se usa es de bocina 1, modelo LB-62-15
de la empresa A-Info. Sus especificaciones técnicas más importantes son: banda de
operación Ku, ganancia típica de 15dB y ancho de haz de 30°. Una imagen referencial
de esta antena es mostrada en la figura 3.2.
Analizador Vectorial de Redes (VNA)
Es la parte fundamental del radar SAR. Se usa un VNA modelo Anritsu VNA Master
Figura 3.2: Elementos mecánicos y electrónicos del radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’: 1) an-
tenas de bocina, 2) analizador vectorial de redes (VNA) y 3) sistema de posicionamiento
lineal. (Fuente propia)
1Antenas Horn
50
MS2028C. En transmisión funciona como generador de señales escalonadas del tipo
SF-CW. En recepción a través de la señal recibida calcula el parámetro de dispersión
S21 del sistema de 2 puertos conformado por las 2 antenas y el área de interés. El
analizador de redes usado puede generar frecuencias que van desde los 15KHz hasta
los 20GHz, y hasta 4001 puntos de muestreo en frecuencia por cada medición realizada.
En la figura 3.2 se muestra una imagen del VNA usado.
Amplificador de potencia (PA)
Es usado para incrementar la potencia de la señal de transmisión y así llegar a mayores
distancias en rango. Se usa un amplificador ZVE-3W-183+ de la empresa Minicircuits,
el cual posee una ganancia típica de 35dB y una potencia máxima de 3W.
2. Elementos mecánicos
Sistema de posicionamiento lineal
También llamado riel lineal, se compone de una correa dentada de la marca Igus, el cual
es un actuador lineal que permite el movimiento horizontal de las antenas del radar que
van fijadas a él en una plataforma. Tiene una dimensión total aproximada de 1700 mm.
La longitud usada de la correa dentada determina el tamaño de la apertura sintética. En
la figura 3.2 se muestra una imagen de la correa dentada usada junto al motor a pasos.
Motor a pasos
Es el elemento que provee el movimiento a la correa dentada. Tiene una resolución
de 20000 pasos por revolución y un desplazamiento lineal de 66mm por revolución.
Respecto al torque máximo que puede mover, tiene una capacidad de 20Kg. Las señales
eléctricas para controlarlo son enviadas por el driver SMD7612 de la empresa National
Instruments, que a su vez es controlado por un microcontrolador ATmega 328P.
El software del radar GB-SAR lo conforman 2 programas principales desarrollados en
el Instituto Geofísico del Perú (IGP): el programa de control del radar y el programa de
adquisición de datos. Ambos programas fueron implementados en un servidor web asociados
a una base de datos.
3.1.2 Funcionamiento
El procedimiento que sigue el radar GB-SAR para obtener el histórico de fase se explica a
continuación. En primer lugar se determina la longitud de la apertura sintética Ls, la cual debe
de tener un valor menor o igual a la longitud del riel. Luego se determina el paso del riel dp y
como consecuencia se calcula el número de puntos de escaneo Np = Lsdp +1, si el valor de Np
no es un entero positivo se aproxima el resultado al entero inmediato superior y se determina
un nuevo valor para Ls = dp(Np− 1). La plataforma que transporta al VNA, las antenas y
51
al PA se moverá a lo largo del riel partiendo de una posición inicial y deteniéndose sólo en
posiciones múltiplos del paso del riel, hasta recorrer toda la longitud Ls, o equivalentemente
haberse detenido Np veces. En cada posición detenida, el VNA genera y transmite una señal
tipo SF-CW, compuesta de N f frecuencias y barriendo un ancho de banda BW , acto seguido
el VNA capta la información de los ecos recibidos y los almacena en un disco duro presente
en la caja de control del radar. La información captada es el parámetro “S21” del sistema de
2 puertos formado por las 2 antenas (TX y RX) y el área de interés (blanco), este parámetro
es proporcional al campo eléctrico reflejado por el blanco.
El histórico de fase se obtiene cuando el radar finaliza de recorrer toda la apertura sintéti-
ca. Se puede representar en una matriz Sk,i de 2 dimensiones, donde las filas de Sk,i represen-
tan el dominio del espacio, y esta formada por todas las posiciones del riel; mientras que las
columnas representan el dominio de la frecuencia y esta formada por todas las frecuencias
de la señal SF-CW. La matriz tiene la siguiente forma:
Sk,i = [S] =

S(0,0) · · · S(0,i) · · · S(0,N f−1)
S(1,0) · · · S(1,i) · · · S(1,N f−1)
... . . .
... . . .
...
S(k,0) · · · S(k,i) · · · S(k,N f−1)
... . . .
... . . .
...
S(Np−1,0) · · · S(Np−1,i) · · · S(Np−1,N f−1)

Np×N f
Donde:
Sk,i = S(uk, fi) = S(uk =
−Ls
2
+ k.dp, fi = fc− BW2 + i.∆ f ) (3.1)
Con k = 0,1,2, . . . ,(Np−1); i= 0,1,2, . . . ,(N f −1). El término ∆ f es el paso entre frecuen-
cias de la señal SF-CW. En la figura 3.3 se muestra una representación gráfica del histórico
de fase obtenido en el dominio espacio - frecuencia.
3.1.3 Adquisición de los datos
Los datos crudos se almacenan en el mismo radar, y para poder acceder a ellos el usuario
se tiene que conectar por red al radar, por ende tanto el radar como el usuario tienen que
estar conectados en una misma red local. La descarga de los datos se realiza mediante el
protocolo SFTP. El formato de la datos descargados es HDF5, el cual es un formato de
archivo estándar que se usa para almacenar datos científicos. Un archivo descargado HDF5
contiene un bloque de histórico de fase, y los parámetros del experimento tales como: la
frecuencia inicial y final, el número de frecuencias, la posición de la apertura sintética inicial
y final, el número de posiciones de escaneo, el ángulo de visión de la imagen, la potencia de
52
Espacio
Frecuencia
Figura 3.3: Representación gráfica del histórico de fase. (Fuente propia).
Figura 3.4: Contenido de un archivo HDF5 descargado del radar GB-SAR, en el cual se
puede observar tanto el histórico de fase como los parámetros del experimento. (Fuente
propia)
transmisión, la fecha de la toma de datos, entre otros.
En la figura 3.4 se muestra el contenido de un archivo HDF5 descargado, abierto con el
53
programa hdfview. En la parte superior derecha de esta figura se observa el histórico de fase
como una matriz de posiciones del riel (filas) y frecuencias (columnas), además debido al
tipo de dato complejo, cada dato es mostrado en su parte real e imaginaria. Por otro lado,
en la parte inferior se muestran los parámetros del experimento en formato de texto, con un
total de 12 parámetros. Tanto el histórico de fase como los parámetros conforman los datos
de entrada a los algoritmos de formación de imágenes SAR.
3.2 Criterios de selección de parámetros
Antes de realizar un experimento de formación de imágenes SAR, se tienen que seleccionar
cuidadosamente los parámetros del experimento, los cuales dependen principalmente de las
características de la imagen SAR que se desea reconstruir, tales como: resolución, tamaño de
la imagen y tipo de blanco. A continuación se describen los criterios de selección para cada
parámetro:
Frecuencia central fc
La elección de la frecuencia central depende del tipo de aplicación. En aplicaciones de mo-
nitoreo de deslizamientos usando radares GB-SAR se suelen usar frecuencias en la banda Ku
[13], [5]. Una de las razones por las que se usa esta banda, es para obtener una alta resolución
en las imágenes SAR, y poder detectar variaciones pequeñas de desplazamientos de tierra.
En el caso del radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’, este opera a una frecuencia central de 15.5GHz, la
cual se emplea en las pruebas con datos reales. Por otro lado, sin perder generalidad se usa
una frecuencia central de fc = 15GHz para las pruebas con datos simulados .
Ancho de banda BW
El ancho de banda BW está determinado por la resolución en rango ∆r que se quiere obtener,
mostrado en la ecuación (3.2), ambas variables están relacionados de forma inversamente
proporcional, lo cual significa que para resoluciones pequeñas en rango se necesita un ancho
de banda amplio.
BW =
c
2∆r
(3.2)
Número de frecuencias N f
El número de frecuencias N f influye en la magnitud del Rango No Ambiguo (RU ). El valor
de RU determina el rango máximo que se puede obtener en la imagen final y está dado por
la teoría de PDS. Además RU es igual a la longitud del intervalo de observación del dominio
del espacio Lr explicado en la sección 2.3.1. Sin embargo, este término es diferente a Rmax,
el cual es la distancia máxima del blanco que el radar puede detectar y está determinada por
la ecuación del radar. Por lo tanto, todos los rangos de los blancos deberían ser menores a
RU para que estén incluidos en la escena de la imagen SAR. Manteniendo constante ∆r, la
54
relación entre N f y RU es directamente proporcional:
N f =
RU
∆r
(3.3)
Paso del riel dp
El paso del riel ‘dp’ está determinado principalmente por el ángulo de visión máximo ‘θmax’
que tendrá la imagen SAR, tal como se muestra la figura 3.5. La relación entre ambas varia-
bles es inversamente proporcional tal como se muestra en la ecuación (3.4), por lo tanto para
obtener pasos del riel más grandes se tiene que disminuir el ángulo de visión, pero esto con-
lleva a tener menor área disponible para graficar correctamente la imagen SAR. La ecuación
(3.4) previene el efecto de solapamiento al procesar la señal.
dp ≤ λ4sinθmax (3.4)
Apertura Sintética Ls
El tamaño de la apertura sintética Ls determina la resolución en azimut ∆x de la imagen.
Para obtener un valor aproximado de Ls, se puede escoger un valor de resolución en azimut
máximo ∆xmax correspondiente a un rango máximo Rmax , lo anterior se representa en la
siguiente ecuación:
Ls =
λ
2∆xmax
Rmax (3.5)
Los ∆x que se escogen deberían ser mayores a ∆xmin = l/2, donde l es el tamaño real de la
antena, tal como se explicó en la sección 2.2.2.
En la tabla 3.1 se resume los criterios de selección de cada uno de los parámetros.
Riel Azimut
Rango
Figura 3.5: Ángulo de visión máximo de la imagen SAR ‘θmax’. La imagen formada en
la zona gris estará libre del efecto de solapamiento. (Fuente propia)
55
Tabla 3.1: Principales parámetros eléctricos y mecánicos de un sistema de formación
de imágenes con radares SAR.
Parámetro Símbolo Dependencia
Frecuencia central fc 15 , 15.5 GHz
Ancho de banda BW ∝ 1/∆r
Numero de frecuencias N f ∝ RU
Paso del riel dp ∝ 1/θmax
Apertura Sintética Ls ∝ 1/∆x
3.3 Geometría
Se usa un plano coordenado con ejes: Azimut y Rango, para la formación de las imágenes
SAR, tal como lo explicado de manera preliminar en la sección 2.2.1. En esta sección se
explicarán más detalles de la definición de este plano, tales como la ubicación de la apertura
sintética y de la escena de la imagen.
El plano azimut-rango se hace coincidir con un plano cartesiano, donde el eje x coincide
con el eje de azimut y el eje y con el eje del rango, tal como se muestra en la figura 3.6. La
apertura sintética Ls, se ubica en el origen de coordenadas centrado en Azimut, y la primera
posición de la antena empieza en el extremo izquierdo del riel, moviéndose de izquierda a
derecha periódicamente. La escena de la imagen SAR presenta forma rectangular (área gris
de la figura 3.6) con dimensiones: Lx en el eje de azimut, y Ly en el eje de rango; y una grilla
Azimut
Rango
Blancos puntuales
Blanco 
continuo 
Riel
Antena
Figura 3.6: Geometría detallada usada para la formación de imágenes SAR, mostrando
la ubicación de la apertura sintética y la escena de la imagen. (Fuente propia)
56
de tamaño: dx en el eje de azimut y dy en el eje del rango. La escena de la imagen se ubica
en el origen de coordenadas centrado en azimut e iniciando desde el eje positivo en rango.
Finalmente se debe distinguir los siguientes términos para evitar confusiones:
rango: Es la distancia entre el radar y el blanco.
Eje de Rango: Es una coordenada cartesiana, perpendicular al eje de azimut. Coincide
con el eje cartesiano y.
Eje de Rango (polar): Es una coordenada polar del rango de los blancos.
Todas las imágenes SAR se forman en un plano cuyo eje vertical es el eje de Rango. Por
otro lado, todos los perfiles de rango tienen como eje el eje de Rango (polar).
Un resumen de los parámetros geométricos de la escena de la imagen se muestra en la
tabla 3.2.
Tabla 3.2: Parámetros de la escena de la imagen SAR.
Parámetros geométricos Símbolo
Ancho de la imagen Lx
Alto de la imagen Ly
Longitud de la grilla en el eje de Azimut dx
Longitud de la grilla en el eje del Rango dy
3.4 Simulación de datos
Para realizar las pruebas de los algoritmos y la comparación entre ellos se obtuvo de manera
teórica el histórico de fase, a cuyo procedimiento se le llama simulación de datos. La simula-
ción de datos está basado en el planteamiento y solución del problema directo, el cual consta
de calcular el histórico de fase a partir del conocimiento de la ubicación y la reflectividad de
los blancos, el cual se explicó en la sección 2.4.3. Por lo tanto, primero se define los blancos,
tanto sus posiciones como sus reflectividades, si es un blanco continuo se divide en varios
blancos puntuales, y luego se aplica la siguiente ecuación: [21]
S(uk, fi) =
N
∑
n=1
Ine(− j
4pi
c fi
√
(uk−xn)2+yn2) (3.6)
Donde (xn,yn) representa la posición e In la reflectividad de cada blanco puntual. El valor
de la reflectividad es compleja y su fase juega un papel importante en el cálculo de los
deslizamientos del blanco. Sin perder generalidad y para la simplificación de los cálculos, se
Tabla 3.3: Parámetros del sistema usados en la simulación de datos.
Parámetro Valor
Frecuencia central ( fc) 15 GHz
Ancho de banda (BW ) 600 MHz
Numero de frecuencias (N f ) 41
Longitud del riel (Ls) 1.2m
Numero de posiciones (Np) 238
57
asume In = 1 para todos los casos de obtención de histórico de fase teórico dentro de este
trabajo.
Como ejemplo se presenta el caso de un conjunto de 3 blancos puntuales con las siguientes
posiciones:
(x1,y1) = (0,2)m,(x2,y2) = (−2,8)m,(x3,y3) = (2,8)m
Considerando los parámetros del radar SAR mostrados en la tabla 3.3, y reemplazando en
la ecuación (3.6), se obtiene su histórico de fase. La matriz del histórico de fase es de tamaño
238× 41 y está formado por 9758 datos complejos, en la figura 3.7 se muestra esta matriz
graficada tanto en magnitud como en fase. Cada fila del histórico de fase genera un perfil de
rango para una posición del riel dado.
Figura 3.7: Histórico de fase simulado en magnitud y fase para el ejemplo de los tres
blancos puntuales. (Fuente propia)
CAPÍTULO IV
IMPLEMENTACIÓN DE ALGORITMOS DE FORMACIÓN DE IMÁGENES
En el presente capítulo se implementan tres algoritmos de formación de imágenes para ra-
dares GB-SAR. Estos algoritmos son: Frequency Domain Back-Projection (FDBP), Range
Migration Algorithm (RMA), y Discrete Linear Inverse Problem (DLIP). La característica
que poseen en común es que sus ecuaciones no presentan demasiadas aproximaciones, lo
cual permite formar una imagen con el menor error posible.
Para una mejor explicación de cada algoritmo se toma como ejemplo la reconstrucción de
3 blancos puntuales con posiciones:
(Azimut,Rango) = [(0,2);(0,5);(0,8)]m
Se consideran los parámetros de la tabla 4.1. Se obtiene su histórico de fase simulado
(mostrado en la figura 4.1b) haciendo uso de la ecuación (3.6) y la geometría dada en el
capítulo III.
Tabla 4.1: Parámetros eléctricos y mecánicos usados en la explicación de los pasos del
algoritmo FDBP.
PARÁMETRO VALOR
Frecuencia central fc 15 GHz
Ancho de banda BW 600 MHz
Número de frecuencias N f 41
Apertura sintética Ls 0.3 m
Ángulo de visión θ 90º
Número de posiciones Np 62
Ancho de la imagen Lx 10 m
Alto de la imagen Ly 10 m
Grilla en azimut dx 1.25 cm
Grilla en rango dy 1.25 cm
4.1 Implementación del algoritmo FDBP
La implementación del algoritmo Frequency Domain Back Projection (FDBP) se realizó
basándose en las referencias de la sección 2.4.1. Además de haber usado los pasos de la re-
ferencia, se realizaron mejoras a la imagen final como el uso de otros tipos de interpoladores
y el uso de funciones de enventanado.
59
(a)
(b)
Figura 4.1: (a) Blanco usado en las pruebas de los algoritmos de formación de imágenes,
(b) histórico de fase simulado respectivo. (Fuente propia)
4.1.1 Pasos
Los pasos se derivaron de las ecuaciones (2.34) y (2.35), los cuales se volvieron a reescribir
usando los términos establecidos en el capítulo III:
In =
1
N f Np
∑
k
R2n,kF
(k)
n (4.1)
F(k)n =∑
i
Sk,ie j
4pi fi
c (Rn,k−Ro) (4.2)
Donde:
In es el valor de la imagen compleja reconstruida en el punto “n”
Rn,k es la distancia entre el punto n de la imagen y la posición k del riel (uk).
Ro es una constante que toma en cuenta el retraso de los cables.
60
Modificación de
fase
Compresión en
rango Interpolación
Suma
Coherente
Histórico 
de fase
Imagen 
SAR
Figura 4.2: Pasos propuestos del algoritmo FDBP. (Fuente propia)
Sk,i es el histórico de fase.
c es la velocidad de la luz.
La imagen compleja pudo ser obtenida usando directamente las ecuaciones (4.1) y (4.2),
pero tuvieron el inconveniente de presentar un tiempo de procesamiento muy alto. Para poder
efectuar el algoritmo de una forma más rápida, la ecuación (4.2) se evaluó como la IDFT del
histórico de fase respecto a la frecuencia, esto por cada posición del riel. La demostración de
lo anteriormente señalado se muestra en el Anexo B. Esta conversión permitió plantear los
pasos del algoritmo mostrados en la figura 4.2, los cuales se explican a continuación.
Modificación de Fase
En esta primera etapa se varió la fase de la data cruda debido al término Ro, el cual es
expresado por la siguiente ecuación:
S′k,i = Sk,ie
− j( 4pi.Ro.∆ f .ic ) (4.3)
En este trabajo se ignoró el término Ro tanto en las pruebas con datos simulados como
reales.
Compresión en Rango
Esta etapa consistió en obtener los perfiles de rango por cada posición del riel. Para ello se
efectuó una 1D-IDFT a S′k,i a lo largo de la dimensión de la frecuencia:
S2(uk,ri) =F−1i {S′k,i} (4.4)
El resultado S2 es una matriz en el dominio del espacio en ambas dimensiones, cuyas filas
constituyen los perfiles de rango, como hay Np filas entonces existen la misma cantidad de
perfiles de rango. Al ejemplo de los 3 blancos puntuales, se le aplicó una compresión en
rango, de cuya matriz resultante S2 se graficó un perfil de rango correspondiente a una fila
intermedia, el cual se muestra en la figura 4.3. En esa figura se puede notar que los picos
corresponden aproximadamente a las posiciones reales de los blancos, en la generación de
esta gráfica se empleó la operación de zero-padding.
Después de haber obtenido los perfiles de rango, estos se representaron sobre el plano de
la escena de la imagen, la forma de realizarlo fue mediante círculos concéntricos. Un perfil
de rango se representó como un conjunto de círculos concéntricos, cuyos centros fueron
ubicados en la posición de la apertura sintética respectiva uk, la separación entre ellos fue la
resolución espacial ∆r producto de la IDFT, y el valor de cada círculo fueron las muestras
61
Figura 4.3: Etapa de compresión en rango del algoritmo FDBP para el caso de los 3
blancos puntuales. Se extrae un perfil de rango de la matriz resultante correspondiente
a una posición intermedia de la apertura sintética. (Fuente propia)
Azimut
Rango
Riel
. . 
.
. .
 .
. . 
.
i-ésima 
muestra 
de la IDFT
Figura 4.4: Representación del perfil de Rango en el plano de la escena de la imagen.
(Fuente propia)
de la IDFT, en la figura 4.4 se muestra esta representación. Todos los perfiles de rango se
representaron de forma similar, con la diferencia de que estuvieron desplazados en el eje de
azimut por un valor igual al paso del riel dp.
Interpolación
Este paso tuvo por objetivo calcular los valores en toda la escena de la imagen a partir de los
perfiles de rango.
62
Azimut
Rango
Riel
. . 
.
. .
 .
. . 
.
n-ésimo
punto de la
imagen
i-ésima 
muestra 
de la IDFT
Figura 4.5: Proceso de interpolación en el algoritmo FDBP. (Fuente propia)
Para ello se determinó en primer lugar las dimensiones Lx y Ly de la escena de la imagen,
así como el tamaño de la grilla dx y dy, conociendo previamente que la escena de la imagen
se ubica en el eje positivo en Rango y está centrado en Azimut. Luego se determinaron los
valores en todos los puntos o píxeles de la imagen, mediante una interpolación a partir de
los perfiles de rango representados sobre el plano de la escena de la imagen. Por cada perfil
de rango, correspondiente a una posición del riel uk, se obtuvo una imagen. Los valores
discretos de entrada a la función de interpolación fueron el dominio ri y los valores del perfil
de rango respectivo S2(uk,ri), los puntos a evaluar fueron las distancias de todos los píxeles
de la imagen respecto a uk, en la figura 4.5 se muestra parte de este proceso. Al término de
esta etapa de interpolación se obtuvieron Np imágenes distintas.
En la figura 4.6 se muestra el resultado de la interpolación para el caso de los 3 blancos
puntuales, para ello se usó un interpolador lineal. En esta figura se puede observar 3 círculos
concéntricos con radios 2, 5 y 8m, los cuales corresponden al valor de los rangos de cada
blanco. Estos círculos concéntricos aparecen por el lugar geométrico de la ecuación para
un valor de rango constante. También se puede observar que los círculos concéntricos están
desplazados ligeramente en el eje de azimut, debido a que están referidos a una posición
inicial, media y final de la apertura sintética aproximadamente.
Suma coherente
En este último paso se obtuvo la imagen SAR, para ello se realizó una suma coherente de las
Np imágenes obtenidas en el paso anterior (mostrado en la figura 4.7). La suma coherente
consistió en sumar todas las imágenes píxel con píxel tanto en magnitud como en fase. Pre-
63
(a) (b)
(c)
Figura 4.6: Etapa de interpolación del algoritmo FDBP para el caso de 3 blancos pun-
tuales. Se muestran las imágenes SAR en magnitud, correspondientes a las siguientes
posiciones en el riel: (a)inicial, (b) intermedia y (c) final. (Fuente propia)
viamente se le tuvo que agregar a cada imagen un factor de fase, opcionalmente se le puede
agregar un factor de distancia cuadrático (R2n,k) para hacer notar mejor las zonas más alejadas
del blanco en la escena de la imagen. La expresión matemática de esta suma para cada punto
de la imagen In es la siguiente:
In =
1
N f Np
∑
k
R2n,kF
′(k)
n e
j4pi
c fo(Rnk−Ro) (4.5)
Donde:
e
j4pi
c fo(Rn,k−Ro) es el factor de fase
F
′(k)
n es la imagen interpolada
fo es la frecuencia inferior
64
Figura 4.7: Etapa de suma coherente para el caso de los 3 blancos puntuales. En la
parte inferior se muestra la imagen SAR resultante.
4.1.2 Resultados
Al finalizar de ejecutar los pasos del algoritmo se obtuvo la imagen SAR, y a continuación se
detallarán sus características más importantes, para ello se usará el ejemplo de los 3 blancos
puntuales.
Figura 4.8: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales, obtenida con el algo-
ritmo FDBP. (Fuente propia)
65
(a) (b)
(c)
Figura 4.9: Imagen SAR ampliada en magnitud del ejemplo de los 3 blancos recons-
truidos usando el algoritmo FDBP. (Fuente propia)
En la figura 4.8 se muestra la imagen SAR del ejemplo mencionado después de haber eje-
cutado todos los pasos del algoritmo. Como se puede observar en ella, la imagen SAR posee
magnitud y fase, las unidades de la magnitud pueden ser unidades absolutas de reflectividad
como los mostrados en la figura, o también pueden ser unidades logarítmicas (dB) las cuales
tienen la ventaja de permitir observar más detalles de la imagen como los lóbulos laterales
en ambas dimensiones. Dentro de la imagen en magnitud se pueden observar los 3 blancos
reconstruidos en color amarillo (escala más alta), los cuales se encuentran en sus posiciones
correctas. Como se puede observar también en la figura 4.9, cada blanco posee lóbulos la-
terales en ambas direcciones: rango y azimut, eso es debido al ancho de banda limitado que
se usó; por otro lado se nota que la resolución en rango de los 3 blancos es similar, mas no
lo es la resolución en azimut, lo cual es un resultado esperado debido a que teóricamente su
expresión depende del rango del blanco y como todos los blancos están a un rango distinto
consecuentemente tienen una resolución en azimut distinta, siendo mayor para los blancos
con mayor rango. La resolución en rango teórico es 0.25m, mientras que la resolución en
azimut para el blanco mas alejado es 0.27m.
Respecto a la fase, las unidades se expresan en radianes, el valor esperado de cada blanco
puntual es 0 rad ya que se le definió teóricamente con fase nula, y de acuerdo a la imagen
SAR en fase se observa efectivamente que cada blanco tiene un valor cercano a 0 rad. La fase
de las imágenes SAR influye en la obtención de los mapas de desplazamientos, motivo por
66
el cual tiene importancia en reconstruirlo correctamente.
4.1.3 Mejoras a la imagen
Las mejoras que se le aplicaron a la imagen SAR fueron las siguientes: la elección de un
interpolador y la reducción de los lóbulos laterales.
Elección de un interpolador
La elección del interpolador, el cual tiene que ser realizada en la etapa de Interpolación,
determina la calidad de la imagen SAR, entendiéndose por calidad como una mejor repre-
sentación de los blancos reconstruidos, con mayor continuidad y suavidad.
Se probaron 4 tipos de interpoladores: constante, lineal, polinomial cuadrático y polino-
mial cúbico; cuyos resultados se muestran en la figura 4.10. Como se puede observar en
(a) (b)
(c) (d)
Figura 4.10: Imagen SAR de un blanco puntual en (0, 5)m, obtenida empleando el
algoritmo FDBP y usando 4 interpoladores: (a) constante, (b) lineal, (c) cuadrático y
(d) cúbico. (Fuente propia)
67
ella, el interpolador constante genera la imagen de menor calidad con discontinuidades en
varios partes del blanco reconstruido, por otra parte ambos interpoladores polinomiales gene-
ran imágenes más continuas, por último el interpolador lineal genera una imagen de calidad
intermedia.
El segundo factor que se consideró para elegir el tipo de interpolador fue el tiempo de
procesamiento. Por teoría se sabe que los interpoladores polinomiales poseen un alto tiem-
po de procesamiento, mientras que los interpoladores constantes presentan el menor tiempo
de procesamiento, lo cual se validó con pruebas. En la tabla 4.2 se muestra los tiempos de
procesamiento del algoritmo al emplear los 4 tipos de interpoladores. En ella se observa que
el comportamiento es casi opuesto al factor de calidad, donde el interpolador lineal y cons-
tante poseen los menores tiempos, mientras que los interpoladores polinomiales cuadrático
y cúbico poseen los mayores tiempos. Habiendo probado los 4 tipos de interpoladores tanto
en calidad como en tiempo de procesamiento, se seleccionó la interpolación lineal debido al
bajo tiempo de procesamiento y a la calidad media de la imagen, la cual fue aceptable en la
mayoría de casos, pudiendo distinguirse bien los blancos y sin presentar discontinuidades.
Tabla 4.2: Tiempos de procesamiento del algoritmo FDBP usando 4 interpoladores.
Interpolador Tiempo de ejecución
Constante 7.47
Lineal 6.22
Cuadrático 10.78
Cúbico 13.72
Reducción de los lóbulos laterales
En la figura 4.9 se observa que la imagen reconstruida presenta lóbulos laterales en ambas
direcciones: rango y azimut, los cuales pueden interferir en la reconstrucción de blancos
débiles cercanos. Para reducir estos lóbulos laterales se usaron las funciones de enventanado
como Hanning y Hamming.
Se aplicaron las 2 ventanas mencionadas a un blanco puntual de posición (x,y) = (0,5)m
para observar el efecto de reducción de los lóbulos laterales , y en la figura 4.11 se muestran
los resultados. Se puede notar dos cambios, el primero es la reducción de los lóbulos laterales
tal como se esperaba, pero también se nota que aumenta el valor de la resolución. Para
cuantificar el valor de cada uno estos cambios usando ambas ventanas, se realizó un corte en
Azimut = 0m a ambas imágenes con filtros y se graficaron, estas gráficas se muestran en la
figura 4.12. A continuación, se calculó el ancho de lóbulo principal para obtener la resolución
y el máximo SSL para evaluar la atenuación de los lóbulos laterales. Estos resultados se
muestran en la tabla 4.3, en ella se observa que las ventanas atenúan los lóbulos laterales en
68
(a)
(b)
(c) (d)
Figura 4.11: Reconstrucción de un blanco puntual aplicando el algoritmo FDBP, y
usando 2 funciones de enventanado: (a) blanco teórico, (b) sin ventana, (c) con una
ventana Hanning, (d) con una ventana Hamming. (Fuente propia)
más de 3 y 2 veces en unidades de dB, mientras que la resolución aumenta en 28% y 44%
para las ventanas de Hamming y Hanning respectivamente. Como se puede observar de los
resultados, la ventana Hamming es el que presentó mejores resultados, por lo que se escogió
como función de enventanado en este algoritmo.
4.1.4 Resumen de los pasos
A continuación se resumen los pasos del algoritmo FDBP que se usaron, incluyendo las
mejoras y la adquisición de datos:
1. Se obtuvieron los datos de entrada como el histórico de fase y los parámetros mecáni-
cos y eléctricos.
69
Figura 4.12: Comparación de perfiles de rango empleando las ventanas de Hanning
y Hamming, para el caso de un blanco puntual reconstruido con el algoritmo FDBP.
(Fuente propia)
Tabla 4.3: Obtención de la resolución y máximo SSL de los perfiles de rango empleando
las ventanas de Hanning y Hamming, para el caso de un blanco puntual reconstruido
usando el algoritmo FDBP.
Función de enventanado Ancho del Lóbulo Principal (a -3dB) Máximo SSL(dB)
Ninguno 0.25m -14.5
Hanning 0.36m -36
Hamming 0.32m -45
2. Se aplicó una ventana Hamming al histórico de fase en ambas dimensiones.
3. Se realizó una compensación de fase empleando la ecuación (4.3).
4. Se efectuó una compresión en rango, obteniéndose Np perfiles de rango, uno por cada
posición del riel.
5. Se definió la escena de la imagen como el tamaño y la grilla, y se computó los valores
en cada punto de la imagen mediante una interpolación lineal a partir del perfil de
rango. Se obtuvieron Np imágenes.
6. Se realizó una suma coherente mediante la ecuación (4.5) entre todas las Np imágenes
formadas en el paso anterior para finalmente obtener la imagen SAR, tanto en magni-
tud como en fase. La fase de la imagen resultante se usa posteriormente en la obtención
de los mapas de desplazamientos.
4.2 Implementación del algoritmo RMA
La implementación del algoritmo Range Migration (RMA) se realizó basándose en las refe-
rencias de la sección 2.4.2. Además de haber usado los pasos de la referencia se realizaron
70
mejoras al algoritmo como el uso de funciones de enventanado, decimación y recorte de
espectro.
4.2.1 Pasos
Los pasos o etapas principales del algoritmo RMA se muestran en la figura 4.13, los cuales
se basaron de las referencias mostradas en la sección 2.4.2. En esta sección se explicarán a
detalle cada uno de ellos.
1D - DFT
(Azimut) Filtro adaptado
Interpolación
STOLT 2D - IDFT
Histórico 
de fase
Imagen 
SAR
Figura 4.13: Etapas del algoritmo RMA. (Fuente propia)
Para una mejor explicación de los pasos del algoritmo se usa como ejemplo la reconstruc-
ción de los 3 blancos puntuales situados en las siguientes posiciones:
(azimut,rango) = [(0,2),(0,5),(0,8)]m
Los parámetros se encuentran en la tabla 4.1 y su histórico de fase se muestra en la figura
4.1(b). Se mostrará las señales resultantes después de cada paso del algoritmo.
Pre-procesamiento
Esta es una etapa opcional, el cual consiste en analizar el comportamiento del histórico de
fase en el dominio del espacio. Se realiza una compresión en rango y se obtienen los perfiles
de rango para conocer los posibles rangos de los blancos. En la figura 4.14 se muestra la
compresión en rango para 2 casos de blancos puntuales obtenidos con datos simulados que
presentan las siguientes coordenadas:
(Rango,Azimut) = [(0,4),(0,6),(0,8)]m
(Rango,Azimut) = [(0,4),(2,6),(−1,8)]m
Donde se usó una apertura sintética de tamaño Ls = 8m. El eje vertical de la gráfica de
compresión en rango corresponde al eje del Rango polar.
La figura 4.14 presenta los siguientes detalles. En primer lugar hay tantas curvas como nú-
mero de blancos, en este caso 3, las cuales tienen forma de hipérbola [20]. En segundo lugar,
las posiciones de los blancos coinciden aproximadamente con los vértices de las hipérbolas
(mostrado en la figura 4.14b). Estas dos características permiten conocer previamente las
posibles ubicaciones de los blancos. La longitud en azimut de la matriz comprimida está
limitada al tamaño de la apertura sintética Ls, razón por la cual solo se puede aplicar correc-
tamente este método a blancos cuyas posiciones en azimut sean menores a Ls/2.
El perfil de rango se obtiene directamente de una fila de la matriz comprimida. En la
71
(a) (b)
Figura 4.14: Etapa de compresión en rango del algoritmo RMA, para el caso de 2 gru-
pos de blancos puntuales en las posiciones: (a) (rango, azimut) = [(0, 4), (0, 6), (0, 8)]
y (b) (rango, azimut) = [(0, 4), (2, 6), (−1, 8)]. (Fuente propia)
figura 4.15, se muestra un perfil de rango para 3 blancos con coordenadas (rango,azimut) =
[(0,4),(0,6),(0,8)]m, para la posición intermedia de la apertura sintética.
1D-DFT (Azimut)
Esta primera etapa tiene como propósito cambiar el dominio del histórico de fase, del domi-
nio espacio - frecuencia al dominio frecuencia - frecuencia. Para ello se efectuó una DFT al
Figura 4.15: Perfil de rango para 3 blancos puntuales con posiciones:
(Rango,Azimut) = [(0, 4), (0, 6), (0, 8)], obtenidas de la etapa de compresión en
rango del algoritmo RMA. (Fuente propia)
72
histórico de fase a lo largo del eje de azimut perteneciente al dominio espacial:
S(kx,ω) =Fu{S(u, f )} (4.6)
Donde ω = 2pi f , y kx varía linealmente en el intervalo [−pi/dp;pi/dp]. Adicionalmente
se realizó el siguiente cambio de variable:
kr = ω/c (4.7)
Con este cambio, la señal S(kx,ω) presente ya en el dominio de la frecuencia en ambas
dimensiones, se convierte en la siguiente señal:
S(kx,ω)→ S(kx,kr) (4.8)
Un punto importante a considerar en esta etapa inicial es el ancho de la imagen Lx. Apli-
cando directamente la 1D-DFT al histórico de fase, la máxima distancia Lx que se puede
reconstruir es del tamaño de la apertura sintética Ls, en este caso Ls≈ 1.2m mientras que Lx
tiene un valor superior a los 100m. Para poder reconstruir imágenes con Lx > Ls, se aplicó un
zero-padding al histórico de fase en la dimensión del espacio antes de realizar la 1D-DFT. Si
la longitud de Sk,i en el dominio del espacio es Np el cual equivale a una longitud en azimut
de Ls, entonces la longitud de la señal después del relleno con ceros será Nz el cual equivale
aproximadamente a la distancia deseada Lx:
Nz×dp ≈ Lx (4.9)
De ahí que la longitud del zero-padding sea:
zpad = Nz−Np (4.10)
En la figura 4.16 se muestra este proceso del relleno con ceros. Como se puede ver en
ella, se tiene que rellenar con ceros a ambos extremos de la señal:
S′k′,i =
Nz︷ ︸︸ ︷
{0, . . . ,0︸ ︷︷ ︸
(Nz−Np)
2
,S0,i,S1,i, . . . ,SNp−1,i︸ ︷︷ ︸
Np
,0, . . . ,0︸ ︷︷ ︸
(Nz−Np)
2
} (4.11)
En forma práctica, realizar esta operación de rellenar con ceros a ambos extremos resultó
más operativo, razón por la cual se optó por otro método alternativo basado en la propiedad
de desplazamiento circular de la DFT. En primer lugar se desplazó Sk,i en el dominio del
espacio un valor Xc = Ls/2 hacia la derecha, de tal modo que la señal se encuentre en el
lado positivo del dominio del espacio a partir de cero (u0 = 0m), en la figura 4.17 se muestra
esta idea. Por lo que la señal S(u, f ) quedó expresado en términos de la señal desplazada
Saux(u, f ) del siguiente modo:
S(u, f ) = Saux(u+Xc, f ) (4.12)
73
Espacio
Frecuencia
Figura 4.16: Proceso de zero-padding en el paso de 1D-DFT del algoritmo RMA. (Fuente
propia)
Figura 4.17: Histórico de fase desplazado en X c = Ls/2 hacia la derecha, y el zero-
padding respectivo. (Fuente propia)
Luego se realizó el relleno con ceros al final de la secuencia, tal como se observa en la
74
figura 4.17 y en la siguiente expresión:
Saux(uk, fi) =
Nz︷ ︸︸ ︷
{S0,i,S1,i, . . . ,SNp−1,i︸ ︷︷ ︸
Np
,0, . . . ,0︸ ︷︷ ︸
Nz−Np
} (4.13)
Donde k = 0,1, . . . ,(Np−1),Np, . . . ,(Nz−1); con Nz > Np.
A continuación, se calculó la DFT sin fftshift de Saux(uk′, fi):
S′(kx,kr) =Fu{Saux(u, f )} (4.14)
Finalmente se calculó la DFT de S(u, f ):
Fu{S(u, f )}=Fu{Saux(u+Xc, f )} (4.15)
Por la propiedad de desplazamiento circular, se obtuvo el resultado final:
Fu{S(u, f )}=Fu{Saux(u, f )}.e jkx.Xc (4.16)
S(kx,kr) = S′(kx,kr).e jkx.Xc (4.17)
En la figura 4.18 se muestra el resultado de aplicar la 1D-DFT al ejemplo de los 3 blancos
puntuales. Se aplicó zero-padding debido a que el valor de Lx = 10m fue más grande que
Ls = 0.3m.
Filtro adaptado
Esta etapa consiste en aplicar la siguiente compensación de fase:
Sm(kx,kr) = S(kx,kr)e jRs
√
k2r−k2x (4.18)
Donde Rs es la distancia del centro de la escena de la imagen hacia el eje de Azimut
(mostrado en la figura 4.19). Como se definió la escena de la imagen en el eje positivo de
Figura 4.18: Etapa de 1D-DFT (azimut) del algoritmo RMA, aplicado al ejemplo de los
3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en magnitud y fase. (Fuente
propia)
75
Rango, entonces Rs fue la mitad del alto de la imagen:
Rs =
Ly
2
(4.19)
El filtro adaptado se interpretó como una adición de fase debido al desplazamiento de la
escena de la imagen en un valor igual a Rs a lo largo del eje del Rango. Este desplazamiento
en el dominio del espacio ocasiona la adición de la fase en el dominio de la frecuencia,
debido a la propiedad de desplazamiento circular de la DFT. La razón del desplazamiento es
poder enfocar el área de interés de reconstrucción de la imagen, el cual está alrededor de Rs.
Si por algún caso se ignora este paso la imagen resultante sale centrada en el origen, el
cual tiene la desventaja de reconstruir solo hasta la mitad del rango teórico máximo RU .
En la figura 4.20 se muestra la aplicación de este paso al ejemplo de los 3 blancos puntua-
les. Se observa un cambio en la fase de la señal mas no en la magnitud, tal como lo esperado.
Una consecuencia del filtro adaptado es la definición y uso de un nuevo plano cartesiano
[17]. El nuevo plano x′−y′ esta centrado en la escena de la imagen desplazada, es paralelo al
plano Azimut-Rango, y el eje y′ esta definido en sentido contrario al eje de Rango, tal como
se muestra en la figura 4.21.
Se usa este nuevo plano x′−y′, a partir de este paso del Filtro Adaptado. Una vez recons-
truida la imagen, se pasará del plano x′− y′ al plano Azimut-Rango, mediante las siguientes
relaciones:
Azimut = x′ (4.20)
Rango = Rs− y′ (4.21)
El filtro adaptado también permitió corregir perfectamente la curvatura en rango de todos
los blancos con coordenada x′ = 0. Para el resto de rangos la compensación fue solo parcial
Azimut
Rango
Escena	de	la
imagen
Figura 4.19: Distancia del centro de la escena de la imagen hacia el eje de Azimut.
(Fuente propia)
76
Figura 4.20: Etapa de filtro adaptado del algoritmo RMA, aplicado al ejemplo de los
3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en magnitud y fase. (Fuente
propia)
Azimut
Rango
Escena	de	la
imagen
Escena	de	la	imagen	
desplazada
Figura 4.21: Desplazamiento de la escena de la imagen en el eje del Rango por un valor
Rs, y definición de un nuevo plano x′− y′. (Basado en [17])
y fue tarea del siguiente paso remover las curvaturas residuales (mostrado en la figura 4.22).
En la figura 4.23 se muestra el efecto de la curvatura para el ejemplo de los 3 blancos
puntuales, antes y después de realizar el filtro adaptado. Se aumentó los valores de Ls y Np
a modo de ejemplo para apreciar mejor las señales en ambos ejes. También se observa un
cambio en la curvatura de los 3 blancos, sin embargo solo el blanco intermedio presenta una
corrección perfecta de la curvatura tal como lo esperado ya que coincide con el centro de
la escena de la imagen desplazada. Debido a esta etapa, las blancos cercanos al centro de la
77
1D-DFT 
(azimut)
Filtro adaptado
rango 
rango
Figura 4.22: Efecto de corrección de curvatura realizado por la etapa de filtro adaptado
del algoritmo RMA. (Basado en [17])
(a) (b)
Figura 4.23: Corrección de curvatura para el ejemplo de los 3 blancos puntuales da-
da por la etapa de filtro adaptado del algoritmo RMA. (a) Antes de aplicar el filtro
adaptado, (b) Después de aplicar el filtro adaptado. (Fuente propia)
escena de la imagen se reconstruyeron mejor que los blancos alejados del centro.
Interpolación STOLT
Esta etapa tiene el propósito de corregir las curvaturas residuales dejadas en la etapa del filtro
adaptado (mostrado en la figura 4.24), y realizar un cambio de coordenadas. Comprende 2
pasos: cambio de coordenadas y una interpolación 1D; los cuales se explican a continuación.
1. Cambio de coordenadas
En este primer paso se realizó un cambio de coordenadas en el dominio de la frecuencia,
78
se pasó del plano kx−kr al plano cartesiano kx−ky, para ello se emplearon las siguientes
ecuaciones:
kx = kx (4.22)
ky =
√
k2r − k2x (4.23)
Al hacer este cambio, el plano del dominio kx− kr se curva en el dominio kx− ky, las
líneas de kr constantes en el dominio kx− kr son representadas como circunferencias en
el dominio kx− ky, tal como se muestra en la figura 4.25.
De la ecuación (4.23) se observa que ky puede tener tanto valores reales como ima-
ginarios, sin embargo para el algoritmo solo se consideraron los valores reales, es decir,
solo las combinaciones que cumplan la siguiente relación:
|kr| ≥ |kx| (4.24)
Fitro adaptado
Interpolación
STOLT
rango
rango
Figura 4.24: Corrección de las curvaturas residuales realizada por la etapa de Interpo-
lación STOLT del algoritmo RMA. (Basado en [17])
Figura 4.25: Cambio de coordenadas realizado en la etapa de Interpolación STOLT del
algoritmo RMA. (Basado en [17])
79
Los casos que no cumplan esta relación se completaron con un valor infinito positivo.
2. Interpolación 1D
Al realizar el cambio de coordenadas la grilla de S(kx,ky) se vuelve no uniforme (mostra-
do en la figura 4.25), por lo que en este paso se volvió a convertir en una grilla uniforme
para poder efectuar la siguiente etapa del algoritmo.
La señal S(kx,ky) tiene un grilla no uniforme solo en el eje ky, por lo que se realiza
el cambio solo en este eje, usando interpolación. Por lo tanto se realiza una interpolación
1D a lo largo del eje ky, para obtener la señal Sit(kx,ky) con grilla uniforme.
A continuación se explica el proceso de interpolación (mostrado en la figura 4.26). En
primer lugar se determinó el dominio de interpolación ky(it), sus límites abarcan desde
mı´n(ky) hasta ma´x(ky) los cuales se calculan de la ecuación (4.23), y tiene el mismo paso
∆k que el vector kr, esto para garantizar que la imagen se reconstruya hasta el rango
máximo teórico. Su expresión se muestra en la siguiente ecuación:
ky(it) = [mı´n(ky), . . . ,ky(it)(i),ky(it)(i+1), . . . ,ma´x(ky)] (4.25)
Donde: ∆k = ky(it)(i+1)− ky(it)(i).
En segundo lugar se realizó la interpolación a lo largo del eje ky, esto por cada va-
lor de kx. Las muestras de entrada, representados con puntos negros en la figura 4.26,
lo conforman los valores de S(kx,ky) ubicados en la grilla no regular. Las muestras de
Muestra de entrada 
Muestra de salida
Muestra de salida fuera
de la frontera
Figura 4.26: Proceso de interpolación 1D a lo largo del eje ky realizado en la etapa de
Interpolación STOLT del algoritmo RMA. (Basado en [17])
80
salida, representados con triángulos rojos en la figura 4.26, lo conforman los valores de
Sit(kx,ky) ubicados en una grilla regular, los cuales se calcularon de la interpolación. Los
valores fuera del dominio de interpolación se completaron con ceros, en la figura 4.26
se muestran con marcadores triangulares verdes. Se escogió una interpolación lineal para
las pruebas con datos teóricos y una interpolación polinomial cúbica para las pruebas con
datos experimentales. La interpolación se calculó con la función Interp1D en Python, la
cual ofrece la posibilidad de considerar con valores iguales a 0 a las muestras de salida
que estén fuera de la frontera, todo dentro de una misma función.
En la figura 4.27 se muestra la señal interpolada tanto en magnitud como en fase para el
ejemplo de los 3 blancos puntuales. En ella se puede observar efectivamente que la señal
se curva, presentando una curvatura considerable debido al uso de una frecuencia de alto
valor, fc = 15GHz. Las zonas blancas son los valores extrapolados, los cuales se comple-
taron con ceros. Además se puede observar que el nuevo intervalo de ky aumentó en 13
veces aproximadamente, y con ello aumentó también el tamaño de la matriz Sit(kx,ky).
Por otro lado, en la figura 4.28 se observa la corrección de la curvatura para el ejemplo
de los 3 blancos puntuales. Debido a la Interpolación STOLT se corrigió las curvas resi-
duales ubicados en los extremos, las cuales fueron dejadas en la etapa del filtro adaptado
(mostrado en la figura 4.23). Ahora el lugar geométrico de cada blanco, se convirtió en
líneas horizontales.
Figura 4.27: Etapa de Interpolación STOLT del algoritmo RMA, aplicado al ejemplo
de los 3 blancos puntuales. Se muestran las imágenes resultantes en magnitud y fase.
(Fuente propia)
81
Figura 4.28: Corrección de la curvatura para el ejemplo de los 3 blancos puntuales
después de efectuar la Interpolación STOLT. (Fuente propia)
2D-IDFT
En esta última etapa se realizó una Transformada Inversa de Fourier en ambas dimensiones
(2D-IDFT) a la señal Sit(kx,ky), dando como resultado la imagen SAR s(x,y) en el dominio
del espacio.
En la práctica esta etapa incluyó los siguientes pasos:
Se aplicó un fftshift a Sit(kx,ky) respecto a kx.
Sit(kx,ky) = f f tshi f t|kx{Sit(kx,ky)} (4.26)
Se calculó la 2D-IDFT de Sit(kx,ky)
s(x′,y′) =Fkx,ky{Sit(kx,ky)} (4.27)
Se aplicó un fftshift a s(x′,y′) en ambos ejes
s(x′,y′) = f f tshi f t|x′,y′{Sit(kx,ky)} (4.28)
Se realizó un cambio de coordenadas, del plano (x′− y′) al plano Azimut-Rango, me-
diante las siguientes ecuaciones:
Azimut = x′ (4.29)
Rango = Rs− y′ (4.30)
La imagen SAR resultante al término de esta etapa está en el dominio Azimut-Rango.
82
4.2.2 Resultados
En la figura 4.29 se muestra la imagen SAR reconstruida para el ejemplo de los 3 blancos
puntuales, al terminar de efectuar los pasos del algoritmo RMA. Se muestra la imagen SAR
en magnitud y fase en el plano Azimut-Rango, y se observan los blancos ubicados en las
posiciones esperadas. En la figura 4.30 se muestra cada blanco reconstruido por separado.
Se observa la presencia de los lóbulos laterales en ambas dimensiones. Respecto a la reso-
lución en rango, se observa que son iguales para los 3 blancos, mientras que la resolución
en azimut varía con el rango, siendo por ello mayor en el blanco con Rango = 8m, ambos
comportamientos de la resolución son esperados.
Figura 4.29: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales obtenida con el algo-
ritmo RMA. (Fuente propia)
4.2.3 Mejoras a la imagen
Reducción de lóbulos laterales
De igual forma que en el algoritmo FDBP, se usaron funciones de enventanado para ate-
nuar los lóbulos laterales. En este caso se usó la ventana de Hamming debido a los mejores
resultados que genera. La función de enventanado se aplicó al histórico de fase en ambas
dimensiones antes de iniciar con los pasos del algoritmo.
En la figura 4.31 se muestra la reconstrucción del ejemplo de los blancos puntuales em-
pleando una ventana Hamming. Se observa que los lóbulos laterales en ambos ejes se atenúan
y la resolución aumenta de valor en ambos ejes, tal como lo esperado.
Disminución de las muestras
La decimación permite disminuir la tasa de muestreo de una señal discreta, lo que se traduce
en una reducción de sus muestras. Una ventaja sería disminuir el tiempo de procesamiento
debido a que se usarían señales discretas de menor tamaño. El único inconveniente es que la
83
(a) (b)
(c)
Figura 4.30: Imagen SAR ampliada en magnitud del ejemplo de los 3 blancos recons-
truidos usando el algoritmo RMA. (Fuente propia)
(a) (b)
(c)
Figura 4.31: Efecto de la función de enventanado en la reconstrucción de un blanco
puntual empleando el algoritmo RMA: (a)Blanco reconstruido sin ventana, (b)Blanco
reconstruido con una ventana Hamming. (Fuente propia)
señal resultante de la decimación esta propensa al efecto de aliasing, generando distorsiones
84
en la señal 1. En este caso del algoritmo RMA, se uso la decimación para tener control de
la cantidad de píxeles de la imagen SAR (muestras de la señal) y para disminuir la cantidad
de muestras de la señal Sit(kx,ky), generada al término de la etapa de Interpolación STOLT,
con el propósito de efectuar después la 2D-IDFT en un menor tiempo y sin problemas de
recursos computacionales (memoria RAM).
En la práctica, la decimación se efectuó en el dominio de la frecuencia después de la
interpolación STOLT. El primer paso fue determinar los valores de decimación en los ejes x
e y a los cuales se les nombró Dx y Dy respectivamente, estos valores se calcularon teniendo
en cuenta el número de píxeles deseados de la imagen final, denominados Nx y Ny, y el
tamaño de la matriz Sit(kx,ky) a cuyas dimensiones se les nombró Nkx y Nky:
Dx = int(ceil(
Nkx
Nx
)) (4.31)
Dy = int( f loor(
Nky
Ny
)) (4.32)
Donde la función int(ceil()) aproxima al entero inmediato superior, mientras que int( f loor())
aproxima al entero inmediato inferior.
Como segundo paso se dividió el espectro en tantas veces como lo indican los valores de
decimación Dx y Dy y en la dirección respectiva, para finalmente sumar todas estas partes
entre ellos. La señal resultante de la decimación tiene un tamaño Nx×Ny. El eje kx disminuye
su tamaño a Nx muestras, mientras que el eje ky disminuye a Ny muestras. Estos pasos se
muestran en la figura 4.32, donde se realiza a modo de ejemplo la decimación de una señal,
con los valores de decimación Dx = 4 y Dy = 2.
En la figura 4.33 se muestra la reconstrucción de un blanco, con posición (azimut,rango)=
(0,5), empleando el algoritmo RMA con decimación. En ella se muestran 3 casos: la de la
parte superior es la imagen sin decimación, la del medio posee decimación (Dx,Dy) = (2,2)
y la inferior (Dx,Dy) = (5,5). En cada parte de la figura 4.33 se muestra el espectro deci-
mado y su respuesta en el dominio del espacio, se nota como mientras más aumentan los
factores de decimación la imagen se hace más borrosa debido a la disminución de píxeles
en la imagen, pero a la vez el tiempo de procesamiento disminuye, por ejemplo la señal sin
decimar demora 3.53s mientras que la señal con decimación Dx = Dy = 5 demora 2.57s. La
disminución del tiempo de procesamiento es más notorio cuando se procesan imágenes de
mayor cantidad de píxeles.
El procedimiento de decimación anterior se aplicó a las reconstrucciones hechas con datos
1A las distorsiones en la señal también se les llama artifacts en la literatura. Es cualquier característica extraña
que aparece en la imagen, pero que no está presente en la imagen original.
85
(a)
(b)
Figura 4.32: Ejemplo de decimación en el dominio de la frecuencia con Dx = 4 y Dy = 2.
(a) Espectro de la señal original, (b) espectro decimado. (Fuente propia)
simulados ya que se tenía control sobre el tamaño de las imágenes, sin embargo el proce-
dimiento cambió al momento de reconstruir con datos experimentales debido a la mayor
cantidad de muestras del histórico de fase y las grandes dimensiones de la escena de la
imagen. La decimación en este último caso se aplicó junto a la interpolación STOLT. Esto
significó decimar inmediatamente después de interpolar una fila, con el propósito de evitar la
creación de matrices grandes en la etapa de la Interpolación STOLT. Sin embargo, una des-
ventaja de este método fue el alto tiempo de procesamiento, de 5 minutos aproximadamente
para el ejemplo presentado. Por lo tanto, se optimizó el método anterior para bajar el tiempo
86
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 4.33: Imagen SAR en magnitud (lado izquierdo) junto a su espectro (lado de-
recho) de un blanco puntual aplicando el algoritmo RMA, para los siguientes casos:
(a,b) sin decimación; (c,d) decimación (Dx,Dy)=(2,2) y (e,f) decimación (Dx,Dy)=(5,5).
(Fuente propia)
87
de procesamiento. Se evitó interpolar en las zonas fuera de las fronteras ya que siempre se
asignan por convención un mismo valor, 0 en este caso, y además conforman más del 50%
de la señal interpolada final, mostrado en las zonas blancas de la figura 4.33. Mediante la
creación de zonas de decimación, se determinó las zonas de señal alguna y se ignoró las
que no tenían señal. Con este procedimiento se disminuyó el tiempo de procesamiento de 5
minutos sin decimación a 2 minutos con decimación.
Recorte del espectro
Esta mejora está relacionado a disminuir el tiempo de procesamiento del algoritmo recortan-
do parte del espectro que no tiene contribución significativa en el resultado final. El recorte
de espectro disminuye el tamaño de las señales, lo cual permite emplear menores recursos
computacionales y disminuir el tiempo de procesamiento.
El recorte del espectro se aplico en las etapas iniciales del algoritmo con el propósito de
disminuir el tamaño de las señales desde el principio. Específicamente, se le aplico a la señal
S(kr,kx) después de la etapa de 1D-DFT. El criterio que se usó para el recorte de espectro fue
que todos los valores menores a la milésima parte (1/1000) del valor máximo o equivalente-
mente los que se encuentren a -60dB del máximo de la señal pueden ser ignorados. Para ello
se creó una máscara solo con los valores que estuvieran fuera del criterio de exclusión, es
decir los que sean mayores a la centésima parte del máximo, y se determinó el nuevo inter-
valo ya sea de kx o ky el cual contenga a todos los valores de la máscara. Este procedimiento
se realizó manualmente, analizando para cada caso en particular.
Para el ejemplo de los 3 blancos puntuales, no se pudo realizar el recorte ya que la máscara
es casi todo la señal, sin embargo cuando se le aplicó una ventana Hamming la máscara
presentaba zonas que recortar los cuales son las zonas blancas mostradas en la figura 4.34.
Observando la señal en esta figura se nota que solo se puede hacer recorte en el eje kx donde
el máximo y mínimo valor son aproximadamente +200 y -200 respectivamente (mostradas
con lineas punteadas azules en esta figura), osea:
kx′ ∈ [−200,200]
Con este recorte, el tamaño de la señal disminuyó en más del 50% en la dirección del eje kx,
disminuyendo también el tamaño de las siguientes señales que se crean a partir de ella.
4.2.4 Resumen de los pasos
A continuación se resume los pasos del algoritmo RMA que se aplicaron, junto con las
mejoras, y en el orden respectivo.
1. Se obtuvo el histórico de fase.
2. Se aplicó una ventana Hamming.
88
(a)
(b)
Figura 4.34: Recorte de espectro realizado después de la etapa de 1D-DFT del algoritmo
RMA, para el ejemplo de los 3 blancos puntuales. (a) Espectro sin recortar, (b) máscara
de recorte de espectro. (Fuente propia)
3. Se calculó una 1D-DFT respecto al eje de azimut, previamente se realizó un zero−
padding.
4. Opcionalmente se aplicó un recorte de espectro.
5. Se realizó una compensación de fase mediante el filtro adaptado.
6. Se realizó una Interpolación STOLT.
7. Se aplicó la decimación en ambos ejes.
8. Se calculó una 2D-IDFT, obteniendo la imagen SAR.
9. Se cambió el plano de la imagen SAR al de Azimut-Rango.
89
4.3 Implementación del algoritmo DLIP
El algoritmo Discrete Linear Inverse Problem (DLIP) es un algoritmo de formación de imá-
genes SAR propuesto basado en la solución del problema inverso. En esta sección se explica
el planteamiento, los pasos y las limitaciones del algoritmo. Para una mejor explicación de
los pasos del algoritmo, se usa el ejemplo de los 3 blancos puntuales ubicados en:
(azimut,rango) = [(0,2),(0,5),(0,8)]m
Se usan los parámetros de la tabla 4.1 con un solo cambio en el tamaño de la grilla: dx =
dy = 0.25m.
4.3.1 Planteamiento
El planteamiento de este algoritmo se basó en las ideas de la sección 2.4.3. Como se men-
ciona en ella, la idea es aproximar el problema directo a un sistema lineal, y luego resolver
el problema inverso.
Para la aproximación del problema directo a un sistema lineal se usó la ecuación (2.47),
el cual se vuelve a reescribir empleando los términos del capítulo III:
S(uk, fi) =
N
∑
n=1
Ine(− j
4pi
c fi
√
(uk−xn)2+y2n) (4.33)
Donde In es la reflectividad y (azimut,rango) = (xn,yn) es la posición de cada blanco pun-
tual. La ecuación (4.33) permite dividir un blanco continuo en varios blancos puntuales. Para
este caso, se extiende el concepto de In y (xn,yn) como la reflectividad y posición de cada
píxel de la imagen SAR, asumiendo que el blanco se encuentra dentro de la escena de la
imagen.
A continuación se expresó la ecuación (4.33) en forma de un sistema lineal de ecuaciones
utilizando el formato dado en la referencia [22]. Por lo tanto el sistema lineal del problema
directo tiene la siguiente expresión:
[S] = [A][I] (4.34)
Con:
[S] =

S(1,1)
...
S(k,i)
...
S(Np,N f )

NpN f×1
S(k,i) = S(uk, fi)
(4.35)
90
[I] =

I1
...
In
...
IN

N×1
In = I(r¯n)
(4.36)
[A] =

Aˆ(1,1),1 · · · Aˆ(1,1),n · · · Aˆ(1,1),N
... . . .
... . . .
...
Aˆ(k,i),1 · · · Aˆ(k,i),n · · · Aˆ(k,i),N
... . . .
... . . .
...
Aˆ(Np,N f ),1 · · · Aˆ(Np,N f ),n · · · Aˆ(Np,N f ),N

NpN f×N
Aˆ(k,i),n = Aˆ(uk, fi, r¯n)
(4.37)
Donde:
[S] es el histórico de fase mostrado en un vector columna de tamaño NpN f , en donde
Np es el número de posiciones del riel y N f es el número de frecuencias usadas.
[I] es el vector de reflectividades, mostrados en un vector columna de tamaño N, en
donde N es el número de píxeles totales de la escena de la imagen.
[A] es la matriz que identifica al sistema. Tiene dimensión igual a (NpN f ×N).
La matriz [A] tiene la siguiente expresión:
Aˆ(uk, fi, r¯n) = e[− j
4pi
c fi
√
x2n+(uk−yn)2] (4.38)
Donde: r¯n = (xn,yn)
Métodos de solución
La ecuación lineal del problema directo es:
[S] = [A][I] (4.39)
Lo que se busca es calcular el vector [I] teniendo el vector [S], este procedimiento se le
conoce como el problema inverso. Para resolver el problema inverso se recurre al concepto
de pseudoinversa, ya que la matriz [A] es una matriz rectangular en su expresión más general.
Usando la pseudoinversa, la solución está dada por la siguiente ecuación:
[I] = [A]†[S] (4.40)
Donde [A]† es la pseudoinversa de [A] y presenta una de las siguientes expresiones depen-
diendo al rango de la matriz [A]:
1. Rango completo
91
Dentro de este caso, se encuentran 3 subcasos.
a) Sistemas subdeterminados (NpN f < N)
[A]† = AT (AAT )−1 (4.41)
Donde AAT debe de tener inversa.
b) Sistemas sobredeterminados (NpN f > N)
[A]† = (AAT )−1AT (4.42)
Donde AT A debe de tener inversa.
c) Sistemas cuadráticos (NpN f = N)
[A]† = A−1 (4.43)
Donde A debe de tener inversa.
2. Rango deficiente
La solución de mínima longitud es:
A† =V S−1UT (4.44)
Donde U,V,S son las matrices obtenidas de la descomposición en valores singulares
(SVD) de la matriz A.
4.3.2 Pasos
Del planteamiento del algoritmo se obtuvieron los pasos, los cuales se muestran en la figura
4.35, y se procederán a explicar a continuación.
Obtención de la
matriz del sistema
Determinación del
rango del sistema
Cálculo de la
pseudoinversa
Histórico 
de fase
Imagen 
SAR
Figura 4.35: Pasos del algoritmo DLIP. (Fuente propia)
Pre-procesamiento
Antes de empezar con los pasos del algoritmo se realizaron dos operaciones. La primera de
ellas fue definir la geometría de la imagen, osea, Lx,Ly,dx,dy. Con estos valores se definieron
el número de píxeles totales N de la escena de la imagen, y por consiguiente se determinó
la dimensión del vector [I]. La segunda operación fue redimensionar la matriz del histórico
de fase, de una matriz rectangular convertirlo en un vector columna siguiendo el orden dado
por la ecuación (4.35):
[S]Np×N f → [S]Np.N f×1
Se determinaron las nuevas dimensiones de los vectores [I] y [S] para el ejemplo de los 3
blancos puntuales. La expresión de la dimensión del vector [I] es:
[I] = [I]N×1
92
Donde:
N = Nx.Ny
N =
Lx
dx
.
Ly
dy
Reemplazando términos:
Lx = Ly = 10m
dx = dy = 25cm
⇒ N = ( 10
0.25
+1).(
10
0.25
+1)
N = 1681
Por lo tanto, la dimensión final de [I] es:
[I] = [I]1681×1
Respecto a la dimensión de [S], este tiene la siguiente expresión:
[S] = [S]Np.N f×1
Reemplazando términos:
Np = 62
N f = 41
Por lo tanto:
[S] = [S]2542×1
Obtención de la matriz del sistema
Esta etapa consiste en obtener la matriz [A] que caracteriza al sistema. Para obtener los ele-
mentos de la matriz dada se empleó la ecuación (4.38) y se ubicaron en la matriz [A] siguien-
do el orden especificado por la ecuación (4.37).
Continuando con el ejemplo de los 3 blancos puntuales se obtuvo la matriz [A] y se cal-
cularon sus dimensiones:
[A] = [A]Np.N f×N
Reemplazando valores:
[A] = [A]62∗41×1681
[A] = [A]2542×1681
La matriz [A] posee más filas que columnas, por lo tanto pertenece a un sistema sobredeter-
minado.
93
Determinación del rango del sistema
En esta etapa se obtiene el rango de la matriz [A]. Continuando con el ejemplo de los 3
blancos puntuales, se calculó el rango de la matriz [A]:
ran(A) = 1681
Como el ran(A) es igual al menor valor de las dimensiones de [A]2542×1681, entonces la
matriz se clasificó como Rango completo.
Cálculo de la pseudoinversa
En esta última etapa se obtiene la imagen SAR. Para ello en primer lugar se obtiene la pseu-
doinversa de la matriz [A], empleando una de las expresiones mencionadas en la sección
4.3.1. Luego por medio de la ecuación (4.40) se calcula el vector [I]. Finalmente se redimen-
siona el vector [I] para obtener la imagen SAR:
[I]N×1→ [I]Ny×Nx
Continuando con el ejemplo de los 3 blancos puntuales, se calculó en primer lugar la pseu-
doinversa [A]†. Como la matriz [A] es de Rango completo y además pertenece a un sistema
sobredeterminado, se usó la ecuación (4.42) para calcular la pseudoinversa. Una vez obteni-
do [A]†, esta matriz se multiplicó con el vector [S], y se redimensionó para finalmente obtener
la imagen SAR.
4.3.3 Resultados
Después de aplicar todos los pasos anteriores se obtiene la imagen SAR, se usa el ejemplo
de los 3 blancos puntuales para explicar sus características más importantes.
En la figura 4.36 se muestra la imagen SAR para el ejemplo, tanto en magnitud como
en fase. Se observa en la gráfica de magnitud que los 3 blancos fueron reconstruidos en
sus posiciones correctas. Respecto a los lóbulos laterales, estos se encuentran a -280 dB del
máximo aproximadamente, el cual es un valor muy atenuado, debido a los valores pequeños
de los lóbulos laterales ya no se emplea ninguna función de enventanado. También se observa
la aparición de distorsiones de señal en ambos extremos de la parte inferior de la gráfica de
magnitud, los cuales poseen un valor de -145 dB del máximo aproximadamente.
4.3.4 Limitaciones de implementación
El algoritmo DLIP presenta 2 limitaciones al momento de implementarlos. La primera está
relacionada a la condicional de que ciertas matrices como A, AAT y AT A tienen que tener
inversas para computar la pseudoinversa y así resolver la ecuación lineal y poder reconstruir
la imagen. Esta condicional por lo tanto restringe a que solo algunos casos de la matriz A que
cumplan esta condición puedan reconstruir correctamente imágenes usando este algoritmo.
94
Figura 4.36: Imagen SAR del ejemplo de los 3 blancos puntuales obtenida empleando
el algoritmo DLIP. (Fuente propia)
La segunda limitación está relacionada a la cantidad de recursos computacionales que se
necesita para usar este algoritmo. Se puede notar que a lo largo de la implementación del al-
goritmo, la matriz [A] es la variable de mayor tamaño, con dimensiones (NpN f ×N), en otras
palabras, el tamaño de la matriz es directamente proporcional al producto del número de fre-
cuencias, el número de posiciones y el número de píxeles de la imagen. Para ver el tamaño de
[A] cuantitativamente se presentan 2 casos: una imagen pequeña simulada y una imagen real.
En el primer caso se usó el ejemplo de los 3 blancos puntuales, el cual tiene los siguientes
parámetros: Con los parámetros dados, la matriz [A] tiene las siguientes dimensiones:
Lx,Ly 10m
dx,dy 0.25m
N f 41
Np 62
[A]2542×1681
Finalmente para obtener el tamaño de la variable [A] en bytes se necesita saber el tamaño de
cada elemento, como los elementos de la matriz son complejos estos tienen un tamaño de 16
bytes en Python, por lo tanto el tamaño de la matriz [A] es:
2542∗1681∗16 bytes
65.2 MB
El tamaño de la variable [A] es manejable y por lo tanto puede que este caso no requiera
demasiados recursos computacionales.
El segundo caso es de una imagen real, el cual tiene los siguientes parámetros:
95
Lx 500m
Ly 1000m
dx,dy 1m
N f 1000
Np 150
Con los parámetros dados, la matriz [A] tiene las siguientes dimensiones:
[A]150000×500000
Finalmente el tamaño de la variable [A] es:
150000∗500000∗16 bytes
1118 GB
En este caso el tamaño de la variable [A] es muy grande, lo cual se hace necesario tener
grandes recursos computacionales, principalmente memoria RAM, para definir y procesar
este tipo de variables, y por consecuencia para poder usar este algoritmo. La computadora
que se usó para el procesamiento solo tenía 8 GB de memoria RAM, el cual permite procesar
bien solo imágenes similares al primer caso. Por este motivo este algoritmo se limitó solo a
pruebas con imágenes simuladas pequeñas.
4.3.5 Resumen de los pasos
A continuación se resumen los pasos del algoritmo DLIP:
1. Se cambió la dimensión del histórico de fase a un vector columna.
2. Se calculó la matriz [A] que caracteriza al sistema.
3. Se calculó el rango de la matriz [A]
4. Se calculó la pseudoinversa de [A]
5. Se calculó el vector de reflectividades [I]
6. Finalmente, se obtuvo la imagen SAR redimensionando el vector [I].
CAPÍTULO V
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS
En el presente capítulo se analizan los resultados de la implementación de los 3 algorit-
mos con datos simulados. Luego se realiza la comparación entre estos algoritmos bajo los
siguientes parámetros de comparación: calidad de reconstrucción de la imagen, calidad de
enfoque y coste computacional. Por último, se analizan las imágenes SAR obtenidas con
datos reales empleando 2 algoritmos, así como su influencia en la obtención de los mapas de
desplazamientos.
5.1 Análisis de los resultados simulados
Una vez implementado los 3 algoritmos de formación de imágenes SAR se procedió a rea-
lizar pruebas principalmente con datos simulados y analizar los resultados obtenidos, con
el objetivo de conocer los alcances y limitaciones de cada algoritmo. Se escogió un blanco
que facilite el análisis en toda la escena de la imagen, por ello se decidió usar un blanco
pseudo-continuo en forma de cuadrado que abarque casi toda la escena de la imagen. Este
blanco estuvo conformado por un conjunto de blancos puntuales separados entre ellos una
distancia ∆l, tal como se muestra en la figura 5.1. En la tabla 5.1 se muestran los parámetros
geométricos de este blanco.
Cada blanco puntual tiene magnitud uno, In = 1, y fase cero, φn = 0rad. Por otro lado,
Figura 5.1: Blanco usado para el análisis de los algoritmos de formación de imágenes
SAR. (Fuente propia)
97
Tabla 5.1: Parámetros geométricos del blanco pseudo-continuo.
Parámetro Valor
Ancho W 9 m
Alto H 9 m
Grilla ∆l 0.25 m
Posición inicial (-4,1) m
para la simulación y la obtención de las imágenes SAR se usaron los parámetros de la tabla
5.2. La mayoría de los parámetros eléctricos y mecánicos se asemejan a los parámetros reales
de un experimento de formación de imágenes SAR. Respecto a los parámetros geométricos,
se eligieron valores pequeños para realizar pruebas rápidas, y especialmente para probar el
algoritmo DLIP el cual presenta problemas de coste computacional cuando las imágenes son
muy grandes.
Cada algoritmo usa como base el blanco y los parámetros mencionados, pero puede que
se cambien algunos valores para realizar pruebas adicionales.
Tabla 5.2: Parámetros empleados para la simulación e implementacion de los algorit-
mos de formación de imágenes SAR.
PARÁMETRO VALOR
Frecuencia central fc 15 GHz
Ancho de banda BW 600 MHz
Número de frecuencias N f 41
Apertura sintética Ls 1.2 m
Ángulo de visión θ 90º
Número de posiciones Np 248
Ancho de la imagen Lx 10 m
Alto de la imagen Ly 10 m
Grilla en azimut dx 6.25 cm
Grilla en rango dy 6.25 cm
5.1.1 Algoritmo FDBP
Con el blanco de la figura 5.1 y los parámetros de la tabla 5.2 se formó la imagen SAR
empleando el algoritmo FDBP. Durante la implementación del algoritmo se usó una Ventana
Hamming para atenuar los lóbulos laterales, y un interpolador lineal.
En la figura 5.2 se muestra la imagen SAR reconstruida tanto en magnitud como en fase,
y en la tabla 5.3 se muestran los parámetros de salida como ∆r,∆xmax,RU , y ts.
La imagen SAR obtenida en magnitud se analiza a continuación. En primer lugar se ob-
serva que el blanco fue reconstruido en su posición correcta, abarcando desde −4 m hasta
4 m en Azimut y de 1 m hasta 9 m en Rango. También se nota la presencia de unos artefactos
en las esquinas de la parte superior de la imagen, impidiendo la reconstrucción correcta en
esas zonas. La razón de la aparición de los artefactos se debe a que esas zonas pertenecen
98
Figura 5.2: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo obtenido con el algoritmo
FDBP. Se muestra la magnitud y fase de la imagen. (Fuente propia)
Tabla 5.3: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo reali-
zado con el algoritmo FDBP
Parámetro Valor
Resolución en rango ∆r 0.25 m
Resolución en azimut máxima ∆xmax 0.075 m
Rango máximo permitido RU 10.25 m
Tiempo de procesamiento ts 1.03 s
al intervalo de extrapolación, el cual empieza a partir de la frontera de interpolación. La
frontera o límite de interpolación está dada por el valor de RU , el cual se puede representar
gráficamente de forma aproximada como una circunferencia de radio RU con centro en el
origen, las zonas de la imagen menores a RU pertenecen a la zona de interpolación, mientras
que las zonas mayores a RU pertenecen a la zona de extrapolación. Los blancos presentes
en la zona de extrapolación no se reconstruyen bien y se generan artefactos en la imagen
SAR. En este caso de la reconstrucción del blanco, el valor de RU = 10.25m, si se traza una
circunferencia de 10.25 m con centro en (0,0), las zonas de las esquinas superiores quedan
fuera de la frontera, y es por eso que se generan artefactos. Por lo tanto se recomienda ubicar
el blanco dentro de la zona de interpolación:
rangomax < RU (5.1)
Preferiblemente ubicarlo al centro de la escena de la imagen. Si no es posible cumplir la
condición anterior, se debería de incrementar el valor de RU a un valor que permita cumplir
la condición, y eso se consigue disminuyendo el paso en frecuencia ∆ f de la señal SF-CW.
Siguiendo la sugerencia anterior, se usó otro blanco ubicado al centro de la escena de
la imagen, mostrado en la figura 5.3, y se reconstruyó usando los mismos parámetros de la
99
Figura 5.3: Blanco ubicado dentro de la zona de interpolación. (Fuente propia)
tabla 5.2. En la figura 5.4 se muestra la imagen SAR reconstruida en magnitud y fase. Como
se puede observar en la gráfica de magnitud de la imagen, se reconstruyó la totalidad del
blanco.
Otro detalle a observar en las gráficas de magnitud de las figuras 5.2 y 5.4 es el efecto
de la resolución en la reconstrucción del blanco. En el eje de Azimut la resolución máxima
es de ∆x = 0.075m y la separación entre blancos es ∆l = 0.25m, como ∆x es menor a ∆l el
algoritmo los reconstruye como blancos individuales en la dirección de Azimut, es por ello
que se observa los blancos individuales en ese eje. También se puede notar que ∆x aumenta
de valor a medida que aumenta el valor del Rango. Por otro lado en el eje del Rango sucede
Figura 5.4: Imagen SAR de un blanco dentro de la zona de interpolación obtenido con
el algoritmo FDBP. Se muestra la imagen en magnitud y fase. (Fuente propia)
100
lo contrario, como la resolución en rango ∆r es igual a ∆l el algoritmo lo reconstruye como
un blanco continuo, es por ello que en la imagen se aprecian líneas verticales y diagonales,
no pudiendo distinguir los blancos individuales.
5.1.2 Algoritmo RMA
Con el blanco de la figura 5.1 y los parámetros de la tabla 5.2 se reconstruyó el blanco em-
pleando el algoritmo RMA. Se usó una ventana Hamming para reducir los lóbulos laterales,
decimación en ambos ejes y recorte de espectro.
En la figura 5.5 se muestra la imagen SAR en magnitud y fase, y en la tabla 5.4 los
parámetros de salida. Analizando la imagen SAR obtenida en magnitud, en primer lugar
se puede observar que no se reconstruyó bien la parte inferior del blanco, específicamente
recién a partir de un ángulo respecto al eje de azimut, mayor a 45º, el blanco se reconstruye
en su ubicación correcta.
Se efectuó una segunda prueba para verificar si sigue habiendo estos problemas de re-
construcción y la presencia de este ángulo. Se eligió un blanco teórico ubicado en la parte
inferior derecha de la escena de la imagen, justo en la zona de no reconstrucción, en la figura
5.6 se muestra este blanco. La imagen SAR reconstruida se muestra en la figura 5.7 tanto en
magnitud como en fase. Como se puede observar en su gráfica de magnitud, la parte infe-
Figura 5.5: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo obtenido con el algoritmo RMA.
Se muestra la magnitud y fase de la imagen. (Fuente propia)
Tabla 5.4: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo reali-
zado con el algoritmo RMA
Parámetro Valor
Resolución en rango ∆r 0.25 m
Resolución en azimut máxima ∆xmax 0.075 m
Rango máximo permitido RU 10.25 m
Tiempo de procesamiento ts 0.12 s
101
rior del blanco sigue sin reconstruirse, además sigue presentando un ángulo límite. Con este
resultado, se comprobó que el algoritmo RMA no reconstruye blancos menores a un cierto
ángulo.
Para comprobar si la no reconstrucción en ciertas áreas de la escena de la imagen está
relacionado a algún parámetro propio del sistema, se realizó una tercera prueba. La hipótesis
fue que la apertura sintética Ls cambia el ángulo límite y la zona de no reconstrucción.
Para la prueba se incrementó el valor de Ls a 4 m, con esto cambió también el valor de Np,
se usó el blanco de la figura 5.1 y el resto de parámetros de la tabla 5.2. En la figura 5.8
Figura 5.6: Blanco usado para comprobar la presencia de una zona de reconstrucción
en el algoritmo RMA. (Fuente propia)
Figura 5.7: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo ubicado en la zona de no re-
construcción, obtenido con el algoritmo RMA. Se muestra la imagen en magnitud y
fase. (Fuente propia)
102
Figura 5.8: Imagen SAR de un blanco pseudo-continuo reconstruido con el algorit-
mo FDBP, incrementando el valor de Ls. Se muestra el resultado en magnitud y fase.
(Fuente propia)
Azimut
Rango
Escena	de	la
imagen
Figura 5.9: Zonas de reconstrucción del algoritmo RMA. Las zonas oscuras de la escena
de la imagen indican las zonas de no reconstrucción, mientras que las zonas claras son
las zonas de reconstrucción. (Fuente propia)
se muestra la imagen SAR reconstruida en magnitud y fase. Como se puede observar de
su gráfica de magnitud, efectivamente hay más zonas del blanco que fueron reconstruidos,
además el ángulo disminuyó a 45º aproximadamente. Otro detalle que se observa es que la
zona de no reconstrucción empieza en ±2m aproximadamente, el cual es la posición que
finaliza la apertura sintética, lo mismo se aprecia en la figura 5.5, en el cual el ángulo recién
empieza en ±0.6m aproximadamente. Por lo tanto, con esta prueba se determina que la
longitud de la apertura sintética Ls influye en la creación de un ángulo φa a partir del cual
los blancos recién son reconstruidos correctamente, y que el ángulo inicia a partir de ±Ls/2,
tal como se muestra en la figura 5.9, las zonas oscuras en esta figura indican las zonas de no
reconstrucción.
103
Por lo tanto para poder reconstruir un blanco completamente usando el algoritmo RMA se
recomienda ubicar el blanco en la zona de reconstrucción, tal como se muestra en las zonas
claras de la figura 5.9. Para conocer la zona de reconstrucción, se puede realizar una prueba
preliminar de reconstrucción empleando un blanco similar al de la figura 5.1 el cual abarque
la parte inferior de la escena de la imagen principalmente, luego se calcula φa, y con ese valor
se determina las zonas correctas de reconstrucción. Otra recomendación complementaria es
ubicar el blanco a una distancia menor a RU .
A modo de ejemplo, se eligió un blanco siguiendo las recomendaciones anteriores. Como
se continuó usando una apertura sintética de valor Ls = 1.2m, entonces ella genera una zona
de reconstrucción mostrada en la figura 5.5, y por lo tanto se elige un blanco dentro de
esta zona, el cual es mostrado en la figura 5.3. Luego se reconstruye la imagen usando el
algoritmo RMA, cuyo resultado se muestra en la figura 5.10. Como se puede observar en
la imagen SAR en magnitud, el blanco fue reconstruido en su posición correcta de manera
total.
La fase de la imagen SAR también está estrechamente relacionada con la apertura sin-
tética. A continuación se realiza una prueba de ello. Se compara las fases de las imágenes
SAR reconstruidas con distintas aperturas sintéticas. Previamente se cambian los siguientes
parámetros:
dx = dy = 0.25
Se usa el blanco de la figura 5.1 y el resto de parámetros de la tabla 5.2. A continuación se
forma la imagen SAR con el algoritmo RMA para 2 casos, en el primero Ls = 1.2m y en el
segundo Ls = 4m. En la figura 5.11(a) se muestra la fase de la imagen SAR para Ls = 1.2m
Figura 5.10: Imagen SAR de un blanco que cumple las recomendaciones del algoritmo
RMA. Se muestra la imagen en magnitud y fase. (Fuente propia)
104
(a) (b)
Figura 5.11: Efecto de la apertura sintética Ls en la fase de la imagen SAR obtenida
con el algoritmo RMA. Reconstrucción de la imagen con: (a) Ls = 1.2m, (b) Ls = 4m.
(Fuente propia)
Tabla 5.5: Parámetros de salida de la reconstrucción del blanco pseudo-continuo reali-
zado con el algoritmo DLIP
Parámetro Valor
Resolución en rango ∆r 0.25 m
Resolución en azimut máxima ∆xmax 0.075 m
Rango máximo permitido RU 10.25 m
Tiempo de procesamiento ts 120 s
y en la figura 5.11(b) la fase para Ls = 4m.
Como se pueden observar en los resultados de las imágenes SAR en fase, hay más zonas
continuas con fases similares para el segundo caso, Ls = 4m, es decir, cuando la apertura
sintética es mayor. Las zonas de fase continua corresponden aproximadamente a la longitud
de Ls. En el primer caso la zona continua es una franja de ancho 1.2 m, mientras que en el
segundo caso, el ancho de la franja es mayor, llegando hasta 4 m aproximadamente. Por lo
tanto se puede concluir que la apertura sintética influye en la obtención de zonas continuas
de fase, mientras más grande es Ls mayor es la zona continua reconstruida.
5.1.3 Algoritmo DLIP
Se usó el blanco de la figura 5.1 y los parámetros de la tabla 5.2 con algunos cambios:
dx = dy = 0.25m
A continuación se reconstruyó el blanco empleando el algoritmo DLIP. En la figura 5.12 se
muestra la imagen SAR en magnitud y fase. En la tabla 5.5 se muestran los parámetros de
salida. De los resultados se puede observar que el blanco fue reconstruido en las posiciones
correctas tanto en magnitud como en fase. La única observación del algoritmo es el alto tiem-
105
Figura 5.12: Imagen SAR obtenida con el algoritmo DLIP en magnitud y fase. (Fuente
propia)
po de procesamiento ts = 120s. De igual forma que los algoritmos anteriores se recomienda
que el blanco esté ubicado a un rango menor a RU .
Cada caso de formación de imágenes SAR con el algoritmo DLIP es distinto y particular,
ya que su solución viene de resolver un Problema de Inversión, el cual presenta varios casos
y soluciones aproximadas. Por lo tanto no se pueden generalizar los resultados de unos casos
al resto de casos.
5.2 Comparación de algoritmos
En esta sección se describe el análisis comparativo entre los 3 algoritmos. Los criterios que
se consideraron son: calidad de reconstrucción de la imagen, calidad de enfoque y coste
computacional. Estos criterios estuvieron basadas en la literatura de comparación de algorit-
mos SAR, explicados en la sección 2.4.4.
5.2.1 Calidad de reconstrucción de la imagen
El parámetro de calidad de reconstrucción de la imagen se refiere a la fidelidad con la que se
reconstruye una imagen SAR, y se cuantifica con el error entre la imagen original (definida
teóricamente) y la imagen SAR obtenida, tanto en magnitud como en fase. Para este pro-
pósito se usaron datos simulados debido a que permiten definir la imagen teórica. Los tipos
de errores que se calcularon para el error de magnitud fueron: MSE, RMSE, MAE y ME;
mientras que para computar el error de fase se usó el error RMSE. Se usaron los parámetros
eléctricos y mecánicos de la tabla 5.6 para la obtención del histórico de fase simulado y la
implementación de los algoritmos.
106
Tabla 5.6: Parámetros eléctricos y mecánicos empleados en la comparación de algorit-
mos de formación de imágenes SAR.
PARÁMETRO VALOR
Frecuencia central fc 15 GHz
Ancho de banda BW 600 MHz
Número de frecuencias N f 41
Apertura sintética Ls 1.2 m
Ángulo de visión θ 75º
Número de posiciones Np 238
Homogenización
El primer paso que se realizó fue homogenizar las imágenes. Esto significa usar los mismos
parámetros geométricos de la escena de la imagen: tamaño y grilla, en la implementación de
los 3 algoritmos. Por esta razón se eligieron parámetros que todos los algoritmos pudieran
usar sin problema alguno, como coste computacional, entre otros. Como el algoritmo DLIP
es el que presenta más problemas de coste computacional cuando el tamaño o grilla de la
imagen es muy grande, la elección de los parámetros quedó determinado por este algoritmo.
Los valores elegidos se muestran en la tabla 5.7. Para controlar el número de píxeles de la
imagen final, el algoritmo RMA usa decimación, mientras que los otros algoritmos ya lo
definen en uno de sus pasos.
Los límites de los valores de reflectividad también se homogenizaron. Se escogieron los
siguientes valores:
vmax =−20dB
vmin =−100dB
El último aspecto a homogenizar fue la elección de un blanco adecuado. El blanco tiene que
cumplir las recomendaciones dadas en la sección anterior para una correcta reconstrucción.
Las 2 recomendaciones se resumen a continuación:
1. Ubicar el blanco a una distancia menor a RU .
2. Ubicar el blanco en la zona de reconstrucción, debido a las restricciones del algoritmo
RMA.
Tabla 5.7: Parámetros geométricos usados para la comparación de algoritmos de for-
mación de imágenes SAR.
PARÁMETRO VALOR
Ancho de la imagen Lx 10 m
Alto de la imagen Ly 10 m
Grilla en azimut dx 0.25 m
Grilla en rango dy 0.25 m
107
Obtención de los errores
Las pruebas para el cálculo de errores se realizaron con 3 blancos distintos: 1 blanco puntual
y 2 blancos pseudo-continuos. Para cada uno de ellos se empleó el siguiente método:
a) Se definió el blanco teórico y la imagen teórica.
b) Se obtuvo su imagen SAR empleando los 3 algoritmos de formación de imágenes
SAR.
c) Se calcularon los errores en magnitud y en fase de las imágenes SAR respecto a la
imagen teórica. Los errores en magnitud que se calcularon fueron: MSE, RMSE, ME
y MAE. El error en fase que se calculó fue el RMSE. Para computar todos estos errores
se usaron las ecuaciones de la sección 2.4.4.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.13: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco puntual ubicado en
(Azimut ,Rango) = (0, 5)m. Imagen SAR en magnitud del blanco, empleando el al-
goritmo: (b) FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia)
108
1. PRIMER CASO: Blanco puntual
El primer caso fue un blanco puntual. Para la definición teórica, se utilizaron los siguientes
parámetros:
Posición: (Azimut,Rango) = (0,5)m.
Magnitud: I0 = 1
Fase: φ0 = 0rad
En posiciones distintas al blanco, la magnitud y fase se definieron valores iguales a cero.
En la figura 5.13(a) se muestra la magnitud y en la figura 5.14(a) se muestra la fase
de la imagen teórica. Luego se formaron las imágenes SAR con los 3 algoritmos. Los
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.14: (a) Imagen teórica en fase de un blanco puntual ubicado en
(Azimut ,Rango) = (0, 5)m. Imagen SAR en fase del blanco, empleando el algoritmo:
(b) FDBP, (c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia)
109
resultados de la imagen SAR reconstruida en magnitud se muestra en las figuras 5.13(b),
(c) y (d) respectivamente, mientras que la fase de las imágenes SAR se muestran en las
figuras 5.14(b),(c) y (d). A continuación se realiza una comparación cualitativa de los
resultados. De las imágenes SAR en magnitud, se puede observar que el blanco está en
su posición correcta con los 3 algoritmos, también presenta lóbulos laterales notorios en
los algoritmos FDBP y RMA, mientras que los lóbulos laterales en el algoritmo DLIP
se encuentran debajo de vmin = −100dB es por ello que no se visualizan en la imagen.
Respecto a los resultados de fase, los límites de la fase van desde [−pi;pi], y se observa que
la fase en la posición del blanco es cercano a 0 rad en los 3 algoritmos. Como paso final se
calcularon los errores en magnitud y en fase. Los resultados se muestran en la tabla 5.8.
Como se puede observar en ella, el algoritmo DLIP es el que presentó los errores más
bajos tanto en magnitud como en fase, seguido del algoritmo RMA, y finalmente por el
algoritmo FDBP.
Tabla 5.8: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco puntual,
usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP.
Algoritmo
Error FDBP RMA DLIP
MSE 2.356e-04 2.255e-04 2.55e-28
RMSE 1.53e-02 1.50e-02 5.93e-15
ME 5.12e-01 4.23e-01 4.939e-14
M
ag
ni
tu
d
MAE 6.6e-04 6.23e-04 3.196e-15
Fase RMSE 0.131 0.115 8.834e-16
2. SEGUNDO CASO: Blanco pseudo-continuo en forma de “T”
El segundo caso presentado es de un blanco pseudo-continuo en forma de “T”, formado
por un conjunto de blancos puntuales. Para la definición teórica se utilizaron los siguientes
parámetros:
Separación entre blancos puntuales: ∆l = 0.25m
Magnitud de los blancos puntuales: I0 = 1
Fase de los blancos puntuales: φ0 = 0rad
En posiciones distintas al blanco la magnitud y fase se definieron con valores igual a cero.
En la figura 5.15(a) se muestra la magnitud y en la figura 5.16(a) la fase de la imagen
teórica.
Como segundo paso se obtuvieron las imágenes SAR empleando los 3 algoritmos de
formación de imágenes. En las figuras 5.15(b), (c) y (d) se muestran las imágenes SAR en
magnitud usando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP respectivamente. En esas figuras se
puede observar que el blanco fue reconstruido en la posición correcta, también se observa
110
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.15: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco pseudo-continuo en forma
de “T”. Imagen SAR en magnitud del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP, (c)
RMA y (d) DLIP. (Fuente propia)
el mismo comportamiento de los lóbulos laterales que el primer caso, siendo notorios para
los algoritmos FDBP y RMA, mientras que para el algoritmo DLIP sus lóbulos laterales
no están visibles ya que se encuentran debajo de los -100 dB.
Respecto a los resultados de las imágenes en fase, estas se muestran en las figuras
5.16(b), (c) y (d) usando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP respectivamente. Se puede
notar que los algoritmos FDBP y DLIP tienen fase constantes y cercanas a cero en todo el
blanco, mientras que el algoritmo RMA solo tiene fases constantes en partes del blanco,
principalmente alrededor de azimut = 0m. Finalmente se calculan los errores tanto en
magnitud como en fase de las imágenes SAR respecto a la imagen teórica . En la tabla
5.9 se muestran los resultados de los distintos tipos de errores en magnitud y fase. El
111
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.16: (a) Imagen teórica en fase de un blanco pseudo-continuo en forma de “T”.
Imagen SAR en fase del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP, (c) RMA y (d)
DLIP. (Fuente propia)
Tabla 5.9: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco pseudo-
continuo en forma de “T”, usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP.
Algoritmo
Error FDBP RMA DLIP
MSE 9.26e-05 16.08e-05 2.55e-28
RMSE 9.62e-03 12.7e-03 1.596e-14
ME 4.84e-02 6.05e-02 1.553e-13
M
ag
ni
tu
d
MAE 3.5e-03 4.94e-03 5.68e-15
Fase RMSE 0.757 1.335 2.047e-14
algoritmo DLIP sigue teniendo los valores más bajos en el cálculo de los errores tanto de
magnitud como de fase, seguido del algoritmo FDBP y finalmente por el algoritmo RMA.
112
Respecto al alto valor del error de fase con el algoritmo RMA, error de 1.335rad, una
explicación es que el tamaño de la apertura sintética Ls esta limitando la reconstrucción
correcta de la fase a su longitud, tal como se explicó en la sección 5.1.2. Como el valor
de Ls = 1.2m, solo se reconstruye bien la fase en el intervalo [−0.6;0.6]m en Azimut, lo
cual coincide con su gráfica de fase.
3. TERCER CASO: Blanco pseudo-continuo en forma de la palabra “UNI”
La tercera prueba consistió de un segundo blanco pseudo-continuo en forma de la pala-
bra “UNI”. Para la definición del blanco teórico se utilizó los mismos parámetros de la
segunda prueba. En la figura 5.17(a) se muestra la magnitud y en la figura 5.18(a) la fase
de la imagen teórica.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.17: (a) Imagen teórica en magnitud de un blanco pseudo-continuo de la pala-
bra “UNI”. Imagen SAR en magnitud del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP,
(c) RMA y (d) DLIP. (Fuente propia)
113
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.18: (a) Imagen teórica en fase de un blanco pseudo-continuo de la palabra
“UNI”. Imagen SAR en fase del blanco, empleando el algoritmo: (b) FDBP, (c) RMA y
(d) DLIP. (Fuente propia)
Luego se obtuvieron las imágenes SAR empleando los 3 algoritmos de formación de
imágenes. En las figuras 5.17(b), (c) y (d) se muestran las imágenes reconstruidas en
magnitud usando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP respectivamente. Se puede observar
que el blanco fue reconstruido en su posición correcta usando los 3 algoritmos. Además
se nota la presencia de lóbulos laterales con los algoritmos FDBP y RMA, en el caso
del algoritmo DLIP no se observan lo cual significa que están a menos de −100 dB.
Finalmente se observan algunos artefactos en el centro de la parte superior de la imagen
SAR con el algoritmo RMA.
Por otro lado, en las figuras 5.18(b), (c) y (d) se muestran las imágenes SAR en fase
114
usando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP respectivamente. Se puede observar que el
blanco posee una fase constante con los algoritmos FDBP y DLIP, sin embargo con el
algoritmo RMA solo una parte del blanco, la letra ‘N’, posee una fase constante.
Finalmente se calcularon los errores de las imágenes SAR tanto en magnitud como en
fase, los cuales se muestran en la tabla 5.10. Respecto a los errores en magnitud , se puede
notar que el algoritmo DLIP sigue teniendo los valores más bajos, en el orden de 10−14.
Le sigue en orden el algoritmo FDBP, con errores en el orden de 10−3, y finalmente le
sigue el algoritmo RMA. Respecto a los errores en fase, el algoritmo DLIP tiene el menor
error, en el orden de 10−14, seguido por el algoritmo FDBP, con un valor de 1.27 rad,
el cual incrementó de valor respecto al segundo caso, y por último se ubica el algoritmo
RMA, con un valor de 1.77 rad, también con un incremento de valor.
Tabla 5.10: Errores de magnitud y fase de las imágenes SAR de un blanco pseudo-
continuo de la palabra “UNI”, usando 3 algoritmos: FDBP, RMA, DLIP.
Algoritmo
Error FDBP RMA DLIP
MSE 4.75e-05 15.21e-05 8.80e-29
RMSE 6.89e-03 12.33e-03 9.38e-15
ME 5.67e-02 9.94e-02 9.77e-14
M
ag
ni
tu
d
MAE 2.61e-03 5.30e-03 5.21e-15
Fase RMSE 1.27 1.77 2.13e-14
De acuerdo a las 3 pruebas realizadas, el algoritmo DLIP es el que posee los menores errores
de reconstrucción de imagen SAR, tanto en magnitud como en fase, con errores máximos en
el orden de 10−14 para los errores de magnitud y de fase. Le sigue en orden ascendente (ma-
yor error) el algoritmo FDBP y finalmente el algoritmo RMA, ambos algoritmos presentan
errores máximos en el orden de 10−1 para los errores de magnitud, y de 1.27 rad y 1.77 rad
para el error de fase con los algoritmos FDBP y RMA respectivamente.
5.2.2 Calidad de enfoque
Este parámetro evalúa la magnitud de los lóbulos laterales, los cuales repercuten en la re-
construcción de blancos cercanos. Para ello se empleó el factor PSLR, el cual es la relación
entre la amplitud del mayor lóbulo lateral y la amplitud del lóbulo principal. Mientras menor
sea el valor de PSLR, menor repercusión tendrán los lóbulos laterales de un blanco en la
reconstrucción de otro blanco cercano.
El factor PSLR se determinó a partir de los perfiles de rango y azimut. En este caso, el
perfil de rango se determinó obteniendo en primer lugar la imagen SAR y luego graficando
todos los valores del eje del Rango para un valor de Azimut constante. De manera similar se
determinó el perfil de azimut, graficando todos los valores del eje de Azimut para un valor de
115
Tabla 5.11: Posiciones de los blancos usados en las pruebas de PSLR.
Blanco Posición: (Azimut, Rango)
B1 (0,5)m
B2 (0,2)m
B3 (0,7)m
B4 (0,9)m
Rango constante. Teniendo el perfil de rango o azimut con el eje de magnitud en unidades de
dB, el PSLR se calculó restando la magnitud del mayor lóbulo secundario con la magnitud
del lóbulo principal.
Se realizaron dos pruebas. La primera prueba consistió en calcular el PSLR a lo largo
del eje de Rango, y la segunda prueba a lo largo del eje de Azimut. En ambas pruebas se
emplearon 4 blancos puntuales por separado cuyas posiciones se muestran en la tabla 5.11.
En la primera prueba se empezó obteniendo las imágenes SAR de los 4 blancos emplean-
do los algoritmos FDBP, RMA y DLIP. Para ello se usaron los parámetros de las Tablas 5.6 y
5.7, además se usó la ventana Hamming en los algoritmos FDBP y RMA. Luego se compu-
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.19: Perfiles de Rango obtenidos con 3 algoritmos distintos de un blanco
puntual ubicado en la posición (Azimut ,Rango): (a)(0, 5)m, (b)(0, 2)m, (c)(0, 7)m,
(d)(0, 9)m. (Fuente propia)
116
taron los perfiles de rango para un valor de Azimut = 0m, mostrándose los resultados en la
figura 5.19. En esa figura se puede observar que el algoritmo DLIP es el que presenta los
lóbulos laterales más atenuados, cerca a los−300 dB en todos los casos. En el siguiente paso
de la primera prueba, se calculó el valor de PSLR para cada caso. Debido a que las imágenes
SAR tuvieron pocos píxeles y por consecuencia los perfiles de rango también tuvieron pocas
muestras, no se pudo identificar fácilmente el valor máximo del lóbulo principal ni de los
lóbulos laterales para calcular el factor PSLR. Por lo tanto para obtener el valor de PSLR, se
consideró el valor máximo del lóbulo principal y del mayor lóbulo lateral como el primer y
segundo valor máximo de las muestras del perfil de rango respectivamente. Con esta consi-
deración se obtuvieron los resultados de PSLR, los cuales se muestran en la tabla 5.12. De
esta tabla se puede notar que el algoritmo DLIP presenta los valores más bajos de PSLR en
los 4 casos, con un valor promedio de −272dB. Le sigue el algoritmo FDBP con un valor
promedio de −5.4dB y finalmente el algoritmo RMA con un valor promedio de −4.8dB.
Tabla 5.12: Valores de PSLR (en dB) a lo largo del eje de Rango para 4 blancos pun-
tuales empleando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP.
Blanco FDBP RMA DLIP
B1 -4.91 -7.03 -270.98
B2 -10.05 -5.13 -283.82
B3 -3.79 -4.62 -267.74
B4 -2.80 -2.36 -265.10
En la segunda prueba se emplea un procedimiento similar. En primer lugar se obtienen
las imágenes SAR para los 4 blancos empleando los 3 algoritmos, considerando las ventanas
de Hamming para los algoritmos FDBP y RMA. Luego se obtienen los perfiles de azimut,
en las figuras 5.20(a),(b),(c) y (d) se muestran los perfiles en azimut de los blancos B1, B2,
B3 y B4, correspondientes a la posiciones en Rango: 5m,2m,7m y 9m respectivamente.
A continuación se genera un cuadro comparativo de PSLR el cual es mostrado en la tabla
5.13. Como se puede observar en ella el comportamiento es similar a la prueba anterior, con
el algoritmo DLIP presentando los valores más bajos de PSLR, con un valor promedio de
−286dB, seguido del algoritmo FDBP con un valor promedio de −48.7dB y finalmente el
algoritmo RMA con un valor promedio de −34.7dB.
Finalmente se resume los resultados señalando que el algoritmo DLIP presentó los valores
más bajos de PSLR tanto en la dirección de Rango como de Azimut, seguido del algoritmo
FDBP y por último el algoritmo RMA. Estos dos últimos algoritmos tuvieron valores cerca-
nos de PSLR.
El hecho que el algoritmo DLIP tenga los valores más bajos de PSLR significa que la
117
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.20: Perfiles de Azimut obtenidos con 3 algoritmos distintos de un blanco
puntual ubicado en la posición (Azimut ,Rango): (a)(0, 5)m, (b)(0, 2)m, (c)(0, 7)m,
(d)(0, 9)m. (Fuente propia)
Tabla 5.13: Valores de PSLR (en dB) a lo largo del eje de Azimut para 4 blancos pun-
tuales empleando los algoritmos FDBP, RMA y DLIP.
Blanco FDBP RMA DLIP
B1 -53.61 -49.19 -289.66
B2 -50.44 -33.47 -293.94
B3 -45.10 -37.46 -279.87
B4 -45.51 -18.64 -280.69
reconstrucción de un blanco interfiere menos en la reconstrucción de otros blancos cercanos
y por lo tanto la imagen SAR resultante podría presentar menores errores de reconstrucción,
efectivamente esta hipótesis es cierta ya que los resultados de calidad de reconstrucción de
imagen indicaron que el algoritmo DLIP presenta los menores errores, tanto en magnitud
como en fase.
5.2.3 Coste computacional
Como se mencionó en la sección 2.4.4, el coste computacional es la cantidad de recursos que
requiere un algoritmo para ejecutarlo, ya sea tiempo o memoria. Depende principalmente de
118
la complejidad de las ecuaciones matemáticas que rigen cada algoritmo.
Para comparar los algoritmos bajo este parámetro, primero se calculó la complejidad
computacional de cada algoritmo y luego el tiempo de procesamiento.
Complejidad computacional
La complejidad computacional es el coste computacional teórico. Se expresa en términos
de la notación ‘Big-O’. Se obtiene a partir de los pasos principales de los algoritmos. A
continuación se muestra el procedimiento de obtención de este parámetro para los algoritmos
FDBP, RMA y DLIP.
1. Algoritmo FDBP
A partir de los pasos de este algoritmo se determinó su complejidad computacional apro-
ximada. Se asumió que el histórico de fase tiene N f frecuencias y Np posiciones del riel,
que el tamaño de la imagen resultante es de Nx×Ny píxeles, que se usa una interpolación
lineal y que no se emplea ninguna función de enventanado. Luego se planteó el costo
computacional de cada paso del algoritmo, el cual se muestra en la tabla 5.14.
Tabla 5.14: Complejidad computacional aproximada del algoritmo FDBP
PASOS SUB PASOS COSTE
Compresión en rango - NpN f logN f
Interpolación y suma
coherente
Vector de distancias NpNxNy
Factor de fase NpNxNy
Interpolación 1D N f NpNxNy
Suma coherente NpNxNy
Sumando los costes computacionales de todos los pasos:
= NpN f logN f +NpNxNy+NpNxNy+N f NpNxNy+NpNxNy (5.2)
= NpN f logN f +3NpNxNy+N f NpNxNy (5.3)
Asumiendo:
N f = Np = Nx = Ny = N (5.4)
La expresión quedó del siguiente modo:
= N2 logN+3N3+N4 (5.5)
Finalmente se escogió la mayor expresión matemática para calcular la complejidad:
O(N4) (5.6)
2. Algoritmo RMA
A partir de los pasos de este algoritmo se determinó su complejidad computacional apro-
ximada. Se asumió que el histórico de fase tiene N f frecuencias y Np posiciones del riel,
que el tamaño de la imagen resultante es de Nx×Ny, que se aplican las decimaciones Dx
119
y Dy, que se usa una interpolación lineal y que no se usa ninguna funcion de enventanado.
Luego se planteó el costo computacional de cada paso del algoritmo, el cual se muestra
en la tabla 5.15.
Tabla 5.15: Complejidad computacional aproximada del algoritmo RMA
PASOS SUB PASOS COSTE
1D-DFT (Azimut) - DxNxN f logDxNx
Matched Filter - DxNxN f
Interpolación STOLT
Cambio de
coordenadas
DxNxN f
Interpolación 1D DxDyNxNyN f
Decimación en x DxDyNxNy
Decimación en y DyNxNy
2D-IDFT - NxNy logNxNy
Sumando los costes computacionales de todos los pasos:
= DxNxN f logDxNx+DxNxN f +DxNxN f +DxDyNxNyN f +DxDyNxNy+DyNxNy+
NxNy log(NxNy) (5.7)
=DxNxN f logDxNx+2DxNxN f +DxDyNxNyN f +DxDyNxNy+DyNxNy+NxNy log(NxNy)
(5.8)
Asumiendo:
N f = Nx = Ny = N (5.9)
Dx = Dy = D (5.10)
La expresión quedó del siguiente modo:
= DN2 log(DN)+3DN2+D2N3+D2N2+2N2 log(N)+D2N3 (5.11)
Finalmente se escogió la mayor expresión matemática para obtener la complejidad:
O(D2N3) (5.12)
3. Algoritmo DLIP
A partir de los pasos de este algoritmo se calculó su complejidad computacional aproxi-
mada. Se asumió que el histórico de fase tiene N f frecuencias y Np posiciones del riel,
que el tamaño de la imagen resultante es de Nx×Ny píxeles y que se considera un caso
con rango completo y subdeterminado para calcular el valor de A†. Luego se planteó el
costo computacional de cada paso del algoritmo, el cual se muestra en la tabla 5.16.
Sumando los costes computacionales de todos los pasos:
= N2pN
2
f NxNy+N
3
pN
3
f +NxNyN
2
pN
2
f +NpN f NxNy (5.13)
= N3pN
3
f +2NxNyN
2
pN
2
f +NpN f NxNy (5.14)
120
Tabla 5.16: Complejidad computacional aproximada del algoritmo DLIP
PASOS SUB PASOS COSTE
Cálculo de A†
m1 = AAT N2pN
2
f NxNy
m2 = [m1]−1 N3pN3f
A† = AT m2 NxNyN2pN
2
f
Cálculo de I - NpN f NxNy
Asumiendo:
N f = Np = Nx = Ny = N (5.15)
La expresión quedó del siguiente modo:
= N6+2N6+N4 (5.16)
Finalmente se escogió la mayor expresión matemática para obtener la complejidad:
O(N6) (5.17)
A modo de resumen, se muestran las complejidades computacionales de los 3 algoritmos en
la tabla 5.17.
Tabla 5.17: Complejidad computacional de los algoritmos implementados
FDBP RMA DLIP
Complejidad computacional O(N4) O(D2N3) O(N6)
Como se puede observar en ella, el algoritmo DLIP presenta el valor más alto de com-
plejidad computacional, casi N2 veces más que el algoritmo FDBP. Los otros 2 algoritmos
presentan valores menores, el menor de ellos va depender de cada caso en específico, por
ejemplo para el siguiente caso.
Sea:
N = 10 ∧ D = 10
Se calcularon los valores de complejidad para ambos algoritmos obteniéndose:
FDBP: comple jidad ∝ 104
RMA: comple jidad ∝ 105
En este caso el algoritmo FDBP presenta menor coste que el algoritmo RMA, pero para un
valor menor de la variable D el algoritmo RMA podría ser menor. En la siguiente sección se
muestran resultados experimentales para validar estos resultados teóricos.
Tiempo de procesamiento
El tiempo de procesamiento es el coste computacional real y permite validar los resultados de
la complejidad computacional. Por lo tanto, se obtuvo este parámetro para 3 casos distintos:
un blanco puntual y 2 blancos pseudo-continuos. Estos blancos son los mismos que fueron
usados en las pruebas de comparación bajo el parámetro de calidad de reconstrucción de la
121
Tabla 5.18: Tiempo de procesamiento para 3 casos de blancos simulados: 1 blanco pun-
tual y 2 blancos pseudo-continuos, calculado para los algoritmos FDBP, RMA y DLIP.
BLANCO FDBP RMA DLIP
Blanco puntual 0.3317 s 0.3333 s 102.63 s
Blanco pseudo-continuo en
forma de ‘T’
0.106 s 0.149 s 113.36 s
Blanco pseudo-continuo en
forma de ‘UNI’
0.138 s 0.166 s 117.79 s
imagen, ver sección 5.2.1.
Se calculó el tiempo que demora en ejecutarse el programa de cada algoritmo en un
computador con las siguientes características: 8 GB de memoria RAM y procesador Intel
Core i5-4590 @ 3.3 GHz x 4. En la tabla 5.18 se muestran los resultados.
De acuerdo a esta tabla, el algoritmo FDBP es el que presenta el menor tiempo de proce-
samiento (resaltado en color plomo en la tabla), seguido del algoritmo RMA, y por último
el algoritmo DLIP. El tiempo que demora el algoritmo DLIP es aproximadamente 300 veces
más que el obtenido con el algoritmo FDBP. Estos resultados están acorde a los resultados
de la tabla 5.17.
Por lo tanto de los resultados de complejidad computacional y tiempo de procesamiento
se pueden sacar dos conclusiones. La primera de ellas es que el algoritmo DLIP tiene el
mayor coste computacional. Debido también a su alto consumo de recursos computacionales
(ver sección 4.3.4), lo convierten en un algoritmo impráctico para procesar imágenes reales
grandes. La segunda conclusión es que de acuerdo a las pruebas de tiempo de procesamiento
realizadas el algoritmo FDBP es el que tiene el menor coste computacional.
5.3 Análisis de los resultados experimentales
En esta sección se muestran los resultados de la implementación de los algoritmos FDBP
y RMA con datos reales. No se empleó el algoritmo DLIP para este análisis debido a su
alto coste computacional con datos reales. Después de la implementación, se analizaron las
imágenes SAR resultantes, comparando los tiempos de procesamiento de cada algoritmo.
Finalmente se obtuvieron los mapas de desplazamientos a partir de las imágenes SAR con
ambos algoritmos y luego se analizaron estos resultados.
5.3.1 Análisis de las imágenes SAR
En primer lugar se formaron las imágenes SAR empleando 2 algoritmos: FDBP y RMA.
El histórico de fase fue obtenido con el radar GB-SAR ‘IGP-ROJ’. El blanco escogido fue
el cerro Pucruchacra ubicado en el distrito de San Mateo, provincia de Huarochirí, región
Lima. Las razones de su elección fueron los antecedentes de deslizamientos en este cerro
y la cercanía de la ubicación del blanco a la ciudad de Lima para la instalación del radar
122
GB-SAR. En la figura 5.21 se muestra el blanco, el cual está encerrado con un polígono rojo,
además se muestra la ubicación aproximada del radar GB-SAR. Además el blanco posee
franjas concéntricas, tal como se observa en la figura 5.21, los cuales servirán como guía
para identificar el blanco cuando las imágenes SAR hayan sido generadas. Se usaron los
parámetros eléctricos, mecánicos y geométricos de la tabla 5.19. Durante la implementación
de ambos algoritmos se usó una ventana de Hamming para la reducción de los lóbulos late-
rales, además en el algoritmo RMA se usó una interpolación polinomial cúbica en la etapa
de Interpolación STOLT.
En la figura 5.22 se muestran las imágenes SAR en magnitud obtenidas con los algoritmos
FDBP y RMA. Las zonas de alta reflectividad posiblemente corresponden a zonas de escasa
vegetación (rocas, suelo árido) mientras que las zonas con baja reflectividad corresponden
Figura 5.21: Cerro Pucruchacra, vista aérea. Se muestra el blanco y la ubicación apro-
ximada del radar GB-SAR. (Fuente: Google Maps)
Tabla 5.19: Parámetros eléctricos, mecánicos y geométricos usados en las pruebas con
datos reales.
PARÁMETRO VALOR
Frecuencia central fc 15.55 GHz
Ancho de banda BW 100 MHz
Número de frecuencias N f 1001
Apertura sintética Ls 1.4 m
Ángulo de visión θ 75º
Número de posiciones Np 178
Ancho de la imagen Lx 400 m
Alto de la imagen Ly 650 m
Posición inicial eje de Rango yi 300 m
Grilla de la imagen dx,dy 1 m
123
(a) (b)
Figura 5.22: Imágenes SAR en magnitud de un blanco real, obtenido con los algoritmos:
(a) FDBP y (b) RMA. (Fuente propia)
a zonas con vegetación alguna. Se puede observar en ambas imágenes que las zonas de
mayor reflectividad están ubicados entre 300 m y 500 m en Rango, que es donde se ubican
las franjas concéntricas del blanco aproximadamente. Observando varias imágenes SAR de
este mismo blanco, se notó la presencia de las franjas, entre 300 m y 500 m en Rango, en las
transiciones de color de azul a amarillo (anaranjado). Al obtener posteriormente los mapas
de desplazamientos se observarán mejor estas franjas.
Respecto al tiempo de procesamiento, sus valores para cada algoritmo se muestran en
la tabla 5.20. Como se puede ver en ella, el algoritmo FDBP presentó el menor tiempo,
mientras que el algoritmo RMA demoró en ejecutarse unas 18 veces más que el algoritmo
FDBP aproximadamente.
Tabla 5.20: Tiempo de procesamiento de los algoritmos FDBP y RMA para un blanco
real.
Algoritmo Tiempo (s)
FDBP 6.02
RMA 112.54
5.3.2 Análisis de los mapas de desplazamientos
En una aplicación de monitoreo de deslizamientos con radares SAR, las imágenes SAR
obtenidas son posteriormente procesadas y convertidas en mapas de desplazamientos (des-
lizamientos). A partir de estos mapas se elaboran gráficas de deslizamientos en función al
tiempo, en ciertas zonas o puntos. Estas gráficas junto a los mapas son los resultados finales
del sistema de monitoreo. A continuación se evalúa el efecto de las imágenes SAR generadas
124
con cada algoritmo en la obtención de estos resultados finales.
Los mapas de desplazamientos, también llamados interferogramas, se obtienen usando la
técnica GB-DInSAR. Por cada dos imágenes SAR sucesivas se obtiene un interferograma. Se
obtuvieron un total de 51 imágenes SAR con cada algoritmo, con un periodo de adquisición
de 9 minutos, T = 9m. Luego se procesaron las imágenes SAR y se obtuvieron un total
de 50 interferogramas. En la figura 5.23 se muestran dos interferogramas obtenidos con las
imágenes SAR número 10 y 11, cada interferograma correspondiente a los algoritmos FDBP
y RMA. Las unidades de los mapas están dadas en milímetros, presentando un intervalo de
[−4.5;4.5]mm. Las zonas negras no se pueden analizar debido a la falta de datos confiables,
y se obtuvieron a partir de un mapa de coherencia con valor límite 0.7. Se puede observar
que hay más zonas que se pueden analizar con el algoritmo FDBP que con el algoritmo
RMA, por lo que se puede decir que el algoritmo FDBP tiene mayor zona de alta coherencia
que el algoritmo RMA. Anteriormente se mencionó que las franjas concéntricas del blanco
iban a ser más notorios en los interferogramas, y efectivamente observando cualquiera de
las imágenes SAR en la figura 5.23 se pueden observar las franjas entre 300 m y 500 m en
Rango.
Luego se obtuvieron los gráficos de deslizamientos, que es la evolución temporal de los
desplazamientos en una cierta zona o puntos de prueba. Se escogieron 4 puntos de prueba
(a) (b)
Figura 5.23: Mapa de desplazamientos (interferograma) del blanco real generados con
dos imágenes SAR, a su vez obtenidas con los algoritmos: (a) FDBP y (b) RMA. (Fuente
propia)
125
Figura 5.24: Ubicación de los 4 puntos de prueba en el mapa de desplazamientos. (Fuen-
te propia)
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.25: Gráficas de deslizamientos para 4 puntos de prueba: (a) P1, (b) P2, (c) P3
y (d) P4. (Fuente propia)
126
Tabla 5.21: Desplazamientos promedios de los 4 puntos de prueba en función a los
algoritmos FDBP y RMA. Todos los valores se muestran en (mm).
Puntos de prueba FDBP RMA
P1 0.0009 -0.0017
P2 0.0301 0.0268
P3 -0.0096 -0.0115
P4 -0.0013 -0.00012
los cuales se muestran en la figura 5.24. Por cada punto de prueba se obtuvo su gráfica de
deslizamientos. Cada muestra de esta gráfica corresponde al desplazamiento del punto de
prueba en el interferograma. Se usaron los 50 interferogramas, los cuales corresponden a
un intervalo de tiempo de 7.5 horas aproximadamente. En la figura 5.25 se muestran las 4
gráficas de deslizamientos, uno por cada punto de prueba y dentro de cada gráfica una curva
por cada algoritmo.
A continuación se procede al análisis de estas gráficas. En primer lugar se observa un
comportamiento similar de las curvas en los 4 puntos de prueba, con ligeras diferencias en
algunas zonas. Luego se procedió a calcular los valores promedios de las curvas, mostrándose
los resultados en la tabla 5.21. Los valores promedios son similares en ambos casos para
todos los puntos de prueba, con una diferencia máxima de 0.0033 mm para el punto P2.
Resumiendo los resultados obtenidos, de las pruebas con datos reales el algoritmo FDBP
presentó las siguientes ventajas sobre el algoritmo RMA: menor tiempo de procesamiento y
mayor área de alta coherencia en los interferogramas. Respecto a las gráficas de deslizamien-
tos, ambos algoritmos presentaron resultados similares, tanto en valores instantáneos como
en valores promedios.
5.4 Resumen
Tres algoritmos de formación de imágenes SAR: FDBP, RMA y DLIP, fueron probados con
datos simulados y luego comparados en términos de: calidad de reconstrucción de la imagen,
calidad de enfoque y coste computacional. Luego se probaron con datos reales y compararon
en términos de: coste computacional, medición de desplazamientos y las zonas que presentan
alta coherencia en los interferogramas.
En la tabla 5.22 se muestra un cuadro comparativo resumido, teniendo en cuenta los cri-
terios de comparación mencionados.
127
Tabla 5.22: Cuadro comparativo de los tres algoritmos implementados: FDBP, RMA y
DLIP.
Parámetro FDBP RMA DLIP
Calidad de reconstrucción
de la imagen
medio bajo alto
Calidad de enfoque medio bajo alto
Coste computacional bajo medio alto
Zonas de alta coherencia en
los interferogramas
mayor área menor área -
Medición de los desplaza-
mientos
similar similar -
CONCLUSIONES
1. Se implementaron tres algoritmos de formación de imágenes SAR, Frequency Domain
Back Projection (FDBP), Range Migration Algorithm (RMA) y Discrete Linear Inver-
se Problem (DLIP), y luego se compararon bajo tres parámetros: calidad de recons-
trucción de imagen, calidad de enfoque y coste computacional, para una aplicación de
monitoreo de deslizamientos superficiales de tierra.
2. Luego de la comparación de los tres algoritmos de formación de imágenes SAR bajo el
parámetro de calidad de reconstrucción de imagen empleando tres blancos diferentes y
datos obtenidos por simulación, se concluyó que el algoritmo DLIP es el que presenta
los menores errores de reconstrucción de imagen, con un error RMSE promedio en
magnitud de 10.42e-15 y un error RMSE promedio en fase de 1.42e-14 rad.
3. Después de comparar los tres algoritmos de formación de imágenes SAR bajo el pa-
rámetro de calidad de enfoque empleando cuatro blancos puntuales y datos obtenidos
por simulación, se concluyó que el algoritmo DLIP es el que presentó los valores más
bajos de PSLR, con un valor promedio de -272 dB a lo largo del eje del rango y un
valor promedio de -286 dB a lo largo del eje de azimut.
4. Luego de la comparación de los tres algoritmos de formación de imágenes SAR bajo el
parámetro de coste computacional empleando tres blancos diferentes y datos obtenidos
por simulación y datos reales, se concluyó que el algoritmo FDBP presenta el menor
tiempo de procesamiento en cada caso, con un valor promedio de 0.19 s.
5. El algoritmo DLIP presentó los valores más altos de coste computacional y consumo
de recursos computacionales, con un tiempo de procesamiento promedio de 111.3 s,
motivo por el cual las pruebas con este algoritmo se realizaron solo con datos obtenidos
por simulación de tamaño reducido.
6. Las pruebas con datos reales se realizaron empleando solo los algoritmos FDBP y
RMA, y producto de la comparación entre ambos se determinó que el algoritmo FDBP
presenta una mayor área de alta coherencia en los interferogramas generados, y que
ambos algoritmos presentan valores instantáneos y promedios similares en las gráficas
de deslizamientos.
7. De todas las pruebas realizadas tanto con datos obtenidos por simulación como con da-
129
tos reales, se determinó que el algoritmo FDBP es el más apropiado para una aplicación
de monitoreo de deslizamientos con radares GB-SAR. Las razones son las siguientes:
tiene el coste computacional más bajo lo cual permite obtener rápidamente las imá-
genes SAR, en los interferogramas genera más zonas de alta coherencia permitiendo
analizar los deslizamientos en más regiones del mapa de desplazamientos, presenta
valores intermedios en los errores de reconstrucción de la imagen SAR, principalmen-
te en la fase, y finalmente tiene valores intermedios de PSLR. Con esta conclusión se
cumple el objetivo general de la tesis.
8. Se desarrolló un método para generar el histórico de fase teóricamente, lo cual permitió
obtener los datos simulados para hacer las distintas pruebas.
9. Se implementó exitosamente el algoritmo RMA para el caso en que el tamaño de la
imagen SAR en Azimut es mucho mayor a la apertura sintética.
10. En las pruebas del algoritmo RMA con datos obtenidos por simulación se observó que
el valor de la apertura sintética Ls influye en la correcta obtención de las imágenes
SAR, tanto en fase como en magnitud, por ello se determinó las zonas de la imagen
SAR de correcta reconstrucción en función a los valores de Ls.
RECOMENDACIONES
1. Se recomienda usar funciones de enventanado, tales como Hanning o Hamming, du-
rante la implementación de los algoritmos FDBP y RMA, debido a que reducen los
lóbulos laterales de la imagen SAR, generando una imagen más notoria, más que todo
en magnitud.
2. Debido al alto coste computacional del algoritmo DLIP, además del alto consumo de
recursos computacionales como memoria RAM, se recomienda realizar las pruebas
solo con datos generados por simulación y con imágenes pequeñas en un computador
estándar.
3. Para evitar la presencia de artifacts en las imágenes SAR reconstruidas, se recomienda
ubicar el blanco al centro de la escena de la imagen y dentro de la zona de correcta
reconstrucción en el caso del algoritmo RMA.
4. En las imágenes SAR formadas con datos reales posiblemente no se visualice notoria-
mente el blanco, mas que todo en magnitud, por lo que se recomienda variar el rango
dinámico de la imagen y/o cambiar el tamaño de la escena de la imagen enfocando las
zonas donde se ubica el blanco.
5. Se recomienda optimizar el algoritmo DLIP con el objetivo de bajar el tiempo de pro-
cesamiento, para luego realizar pruebas con datos reales y posteriormente compararlos
con los algoritmos FDBP y RMA.
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[21] Gregory L. Charvat. Small and Short-Range Radar Systems. CRC Press, 2014.
[22] L. Li, W. Zhang, and F. Li. Derivation and discussion of the sar migration al-
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[23] Noble B. Applied Linear Algebra. Prentice Hall, 1969.
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[27] D. Massonnet and J.C. Souyris. Imaging with Synthetic Aperture Radar. CRC Press,
2008.
Anexos
ANEXO A
PSEUDOCÓDIGOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS ALGORITMOS
FDBP, RMA Y DLIP
En esta sección se incluyen los pseudocódigos de los tres algoritmos implementados en este
trabajo: FDBP, RMA y DLIP.
Adicionalmente se adjunta en un CD los códigos de programación realizados en Python 3
de los tres algoritmos implementados. También es posible revisar los códigos en el siguiente
repositorio digital en GitHub:
https://github.com/LuisDLCP/GBSAR_Imaging_Algorithms
A.1 Generador de datos simulados
Los pasos del pseudoalgoritmo así como la terminología usada se basaron en las ecuaciones
de la sección 3.4.
Algorithm 1 Función generadora de datos simulados
Input: c, fc,BW,N f ,Ls,Np, In,rn
Output: Sk,i[Np,N f ]
1: function GET-RAWDATA():
2: for k = 0 to (N p−1) do
3: uk =
−Ls
2 + kdp . // Lista de posiciones
4: end for
5: for i = 0 to (N f −1) do
6: fi = fc− BW2 + i∆ f . // Lista de frecuencias
7: end for
8: S =zeros(size = (Np,N f ))
9: Saux =zeros(size = (Np,N f ))
10: for k = 0 in (size(uk)−1) do
11: for i = 0 in (size( fi)−1) do
12: for n = 0 to (size(In)−1) do
13: Saux[k, i] = In[n]× exp(−1 j 4pic fi[i]‖rn[n]−uk[k]‖)
14: S = S+Saux
136
15: end for
16: end for
17: end for
18: return S
19: end function
A.2 Algoritmo FDBP
Los pasos del pseudoalgoritmo así como la terminología usada se basaron en las ecuaciones
de la sección 4.1.
Algorithm 2 Algoritmo Frequency Domain Back Projection(FDBP)
Input: Sk,i,Lx,dx,Ly,dy,Ls,Np,dp,c, fc,BW,N f , fi,uk
Output: I
1: function FDBP-ALGORITHM():
2: S1 = Sk,i× hamming-filter(axis=both)
3: for i = 0 to (N f −1) do . // Etapa preliminar: Modificación del histórico de fase
4: S2 = S1× exp(− j 4pic R0∆ f × i)
5: end for
6: S3 = S2× zero-padding(axis = columns) . // Primera etapa: Compresión en rango
7: S4 = ifft(S3,axis = columns)
8: ∆r = c/2BW . // Segunda etapa: Interpolación
9: rn =get-range-coordinates(size1(S4),∆r)
10: x[Nx] =getXcoordinates(dx,Lx)
11: y[Ny] =getYcoordinates(dy,Ly)
12: rxy[NxNy] =getXYcoordinates(x,y)
13: function GET-INTERPOLATION(p,Rd)
14: H = interp1D(rn,S4[p])
15: return H(Rd)
16: end function
17: S5 =zeros(size = size(rn)) . // Tercera etapa: Suma coherente
18: for k = 0 to (Np−1) do
19: Rd = get-distances(uk[k],rxy)
20: F = GET-INTERPOLATION(k,Rd)
21: Ke =exp(1 j 4pic flow(Rd−R0))
22: S5 = S5+F×Ke
137
23: end for
24: S6 = S5/(N f Np)
25: S7 = reshape(S6,size = (Ny,Nx))
26: I = normalize(S7)
27: return I
28: end function
A.3 Algoritmo RMA
El programa mostrado es válido para las pruebas con datos simulados, para las pruebas con
datos reales se hacen los siguientes cambios: en la tercera etapa, interpolación STOLT, se
usa una interpolación cúbica; además se emplea un método optimizado para realizar la deci-
mación en ambos ejes.
Los pasos del pseudoalgoritmo así como la terminología usada se basaron en los pasos
del algoritmo RMA explicados en la sección 4.2.
Algorithm 3 Algoritmo Range Migration (RMA)
Input: Sk,i,Lx,dx,Ly,dy,Ls,Np,dp,c, fc,BW,N f , fi,uk
Output: I,x,y
1: function RMA-ALGORITHM():
2: S1 = Sk,i× hamming-filter(axis=both)
3: S2 = S1× zero-padding(size = (int(Lx/dp)− size(S1))) . // Primera etapa:
1D-FFT(Azimut)
4: S3 =fft(S2,axis=rows)
5: S3 =fftshift(S3,axis=rows)
6: S∗3 =cutSpectrum(S3,cond <−60dB) . //* Opcional
7: kr = 4pic × fi . // Segunda etapa: Matched Filter
8: kx = 2pidp fftShift(fftFreq(size0(S3)))
9: Xc1 =−Ly/2
10: Xc2 =−Ls/2
11: f f ase =−Xc2kx−Xc1
√
k2r − k2x
12: S4 = S3× e(1 j×ffase)
13: ky =
√
k2r − k2x . //Tercera etapa: Interpolacion STOLT
14: ky−it =arange(min(ky),max(ky),∆kr)
15: S5 =zeros(size = (size(kx),size(ky−it)))
138
16: for i in size(kx) do
17: Git = interp1D(ky[i],S4[i])
18: S5[i] = Git(ky−it)
19: end for
20: Fkx = int(Lx/dx)+1
21: decx = int(size(kx)/Fkx)
22: S6 =zeros(size = ((size0(S5)/decx),size1(S5)))
23: ind1 = int(size0(S5)/decx)
24: for i = 0 to (decx−1) do
25: S6 = S6+S5[: ind1]
26: S5 = S5[ind1 :]
27: end for
28: S6 = S6/decx
29: kxn = fftshift(fftfreq(ind1)×ind1×∆kx)
30: Fky = int(Ly/dy)+1
31: decy = int(size(ky−it)/Fky)
32: S6−aux = S6.T . // T : Operador de matriz transpuesta
33: S7 =zeros(size = ((size0(S6−aux)/decy),size1(S6−aux)))
34: ind2 = int(size0(S6−aux)/decy)
35: for i = 0 to (decy−1) do
36: S7 = S7+S6−aux[: ind2]
37: S6 = S6−aux[ind2 :]
38: end for
39: S7 = (S7.T )/decy
40: kyn = arange(ind2)×∆ky−it+min(ky−it)
41: S8 = ifftshift(S7,axis = rows) . // Cuarta etapa: 2D-IFFT
42: S8 = ifft2(S8)
43: S8 = fftshift(S8,axis = (rows,columns))
44: I =normalize(S8)
45: x =linspace( −pi∆kxn ,
pi
∆kxn ,size0(I))
46: y =linspace( −pi∆kyn ,
pi
∆kyn ,size1(I)) - Xc1
47: return I,x,y
48: end function
139
NOTA: La función arange(xi,x f ,∆x) genera una lista de elementos, con valor inicial xi,
valor final x f y un paso de ∆x. Por otro lado, la función linspace(xi,x f ,N) genera una
lista de elementos, con valor inicial xi, valor final x f y número de elementos N.
A.4 Algoritmo DLIP
Los pasos del pseudoalgoritmo así como la terminología usada se basaron en los pasos del
algoritmo DLIP explicados en la sección 4.3.
Algorithm 4 Algoritmo Discrete Linear Inverse Problem (DLIP)
Input: Sk,i,Lx,dx,Ly,dy,Ls,Np,dp,c, fc,BW,N f , fi,uk
Output: I
1: function DLIP-ALGORITHM():
2: S1 =reshape(Sk,i,size = (N f Np,1)) . // Primera etapa: Obtención del vector
columna S1
3: x =get-Xcoordinates(Lx,dx) . // Segunda etapa: Obtención de la matriz A
4: y =get-Ycoordinates(Ly,dy)
5: rxy = get-XYcoordinates(x,y)
6: ks = 2pic fi
7: function DISTANCE(rn,xk)
8: d =sqrt((rn[0]− xk)2+ rn[1]2)
9: return d
10: end function
11: for n = 0 to (size(rxy)−1) do
12: m = 0
13: for i = 0 to (N f −1) do
14: for k = 0 to (Np−1) do
15: A[m,n] =exp(− j2ks[i]×DISTANCE(rxy[n],uk[k]))
16: m = m+1
17: end for
18: end for
19: end for
20: rg =rank(A) . // Tercera etapa: Cálculo de la pseudoinversa de A
21: Ap =pseudoinverse(A)
140
22: S2 =matrixProduct(Ap,S1) . // Cuarta etapa: Cálculo del vector de reflectividades
23: S3 =reshape(S2,size = (Ly/dy,Lx,dx))
24: I =normalize(S3)
25: return I
26: end function
ANEXO B
DEMOSTRACIÓN DEL PASO COMPRESIÓN EN RANGO DEL ALGORITMO
FDBP
Las ecuaciones principales del algoritmo FDBP son:
In =
1
N f Np
∑
k
R2n,kF
(k)
n (B.1)
F(k)n =∑
i
Sk,ie j
4pi fi
c (Rn,k−Ro) (B.2)
Donde:
In es el valor de la imagen compleja reconstruida en el punto “n”
Rn,k es la distancia entre el punto n de la imagen y la posición k del riel (uk).
Ro es una constante que toma en cuenta el retraso(delay) de los cables.
Sk,i es el histórico de fase.
c es la velocidad de la luz.
En este anexo se demostrará que la expresión F(k)n se puede obtener calculando una transfor-
mada inversa de Fourier (IDFT) al histórico de fase Sk,i.
Partiendo de la ecuación B.2, se realizarán 2 reemplazos de variables. El primero de ellos
es:
∆r =
c
2BW
(B.3)
Expresando Rn,k en función de ∆r:
Rn,k ≈ n.∆r (B.4)
Donde: n = 0,1,2, . . . ,(N−1)
El segundo reemplazo es:
fi = f0+∆ f .i (B.5)
Donde: i = 0,1,2, . . . ,(M−1); M es el número de frecuencias y f0 es la menor frecuencia.
Además:
∆ f ≈ BW
M
(B.6)
Reemplazando las ecuaciones B.4 y B.5 en B.2:
F(k)n ≈∑
i
Sk,ie1 j
4pi
c ( f0+∆ f .i)(∆r.n−R0)
F(k)n ≈∑
i
Sk,ie1 j
4pi
c ( f0.n.∆r− f0.R0+i.∆ f .n.∆r−R0.i.∆ f )
142
F(k)n ≈∑
i
Sk,ie1 j
4pi
c f0.n.∆r.e−1 j
4pi
c f0.R0.e1 j
4pi
c i.∆ f .n.∆r.e−1 j
4pi
c R0.i.∆ f
F(k)n ≈ e1 j 4pic f0(∆r.n−R0)∑
i
{Sk,ie−1 j
4pi
c R0.i.∆ f }e1 j 4pic i.∆ f .n.∆r (B.7)
A la fase del último término exponencial:
1 j.
4pi
c
.i.∆ f .n.∆r
Se le hace un reemplazo de las expresiones de ∆ f y ∆r, dadas por la ecuaciones B.6 y B.3
respectivamente:
1 j.
4pi
c
.i.n.
c
2BW
.
BW
M
Simplificando, queda:
1 j
2pi
M
.i.n (B.8)
Reemplazando la ecuación B.8 en B.7, y haciendo un cambio de variable:
F(k)n ≈ Ke∑
i
{Sk,ie−1 j
4pi
c R0.i.∆ f }e1 j. 2piM .i.n
Donde: Ke ≈ e1 j 4pic f0(∆r.n−R0) = e1 j 4pic f0(Rn,k−R0).
Ordenando la expresión matemática y realizando otro cambio de variable:
F(k)n ≈ Ke
M−1
∑
i=0
S′k,ie
1 j.2pi. iM .n (B.9)
Donde: S′k,i = Sk,i.e
−1 j 4pic R0.i.∆ f .
La expresión B.9 tiene la forma de una transformada inversa de Fourier discreta (IDFT),
por lo tanto expresándolo en esta forma, quedaría:
F(k)n ≈ K′e.F−1i {S′k,i}
F(k)n ≈ K′e.s′k,n (B.10)
Donde: n = 0,1,2, . . . ,(M− 1); K′e = M.Ke; y F−1i es el operador transformada inversa de
Fourier respecto a la variable i.
A continuación se interpreta el resultado de la ecuación B.10. Para una posición fija del
riel ‘k’, la expresión inicial de F(k)n calcula este valor en cualquier punto n de la Imagen, sin
embargo la ecuación B.10 calcula F(k)n en puntos n, los cuales son valores discretos múltiplos
de la resolución en rango ∆r. Por lo que para calcular el valor en un punto cualquiera a partir
de los valores en puntos discretos, se puede usar una interpolación.
Por lo tanto, con el resultado de la ecuación B.10 quedó demostrado que F(k)n se puede
obtener a partir de una 1D-IFDT respecto a la variable frecuencial al histórico de fase modi-
ficado S′k,i.